Primzahlen der Form 4k-1

24.04.2013, 14:29	PeterSchmitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen der Form 4k-1 Hallo, ich habe in einem Buch die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen der Form $\begin{eqnarray} 4k-1 \end{eqnarray}$ gibt. Der Beweis wird als Widerspruchsbeweis geführt, d.h. man nimmt an, es gibt nur endlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray} p_1, p_2, ..., p_n \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} 4k-1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Man folgert dann, dass $\begin{eqnarray} m = 4 p_1 p_2 ... p_n - 1 \end{eqnarray}$ keine Primzahl ist. An einer Stelle steht dann: Da $\begin{eqnarray} m - 4 p_1 p_2 ... p_n = -1 \end{eqnarray}$ gilt, teilt keiner der $\begin{eqnarray} p_1, p_2, ..., p_n \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und alle Primfaktoren haben die Form $\begin{eqnarray} 4k + 1 \end{eqnarray}$ . Aber warum gilt dies? Warum kann man aus dieser Darstellung von $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ schlussfolgern, dass m nicht geteilt wird? Vielen Dank!
24.04.2013, 14:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du sonst faktorisieren könntest: Mit $\begin{eqnarray} m=p_i a \end{eqnarray}$ würde dann gelten $\begin{eqnarray} 4p_1p_2\cdots p_n - m= p_i(4\prod_{\stackrel{j=1}{j\not= i}}^n p_j -a )= 1 \end{eqnarray}$ Dies ist nur möglich, wenn beide Faktoren 1 sind, was ein Widerspruch ist, da alle $\begin{eqnarray} p_i>1 \end{eqnarray}$ .
24.04.2013, 23:45	PeterSchmitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank mal wieder RavenOnJ! Ich finde, dass hätten sie nochmal ausformulieren können im Lehrbuch, denn so offensichtlich erscheint es zumindest mir nicht.

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