Zusammenhang: Dimensionsformel Injektiv/Surjektiv/Bijektiv |
| 24.04.2013, 18:32 | Luxa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Zusammenhang: Dimensionsformel Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe und verzweifle ziemlich daran: Aufgabenstellung: "Ist die folgende lineare Abbildung injektiv? surjektiv? bijektiv? f: R^2->R^2 mit f(x,y)=f(0,2x+3y)" Hinweis: Verwende die Dimensionsformel: dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) (für f:V->W) Meine Ideen soweit: Ich habe damit angefangen erstmal die Dimension vom Kern zu berechnen: dazu habe ich die Gleichung gleich Null gesetzt: 2x+3y=0 Da ich nur eine Gleichung und zwei Variablen habe, kann ich eine Variable frei wählen und somit weis ich das die Dimension des Kerns 1 ist, da die Dimension gleich der Anzahl an frei wählbaren Variablen ist. Die Dimension des Bildes würde ich jetzt instinktiv auch als 1 einschätzen, bin mir aber nicht sicher wie ich das Formal korrekt aufschreiben soll und ob dieses "Gefühl" überhaupt korrekt ist. XD Meine Frage: Meine Frage ist nun wie kann ich die Dimension des Bildes ausrechnen und was würde mir die Information letztendlich bringen? Also was für einen Zusammenhang hat die Dimensionsformel mit der Injektivität/Surjektivität/Bijektivität?? Die Definitionen von Injektiv/Surjektiv/Bijektiv sind mir bekannt! |
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| 24.04.2013, 19:04 | Bruder | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Luxa, der Kern, hast du richtig gemacht, ist 1 dimensional. Es folgt mit der Dimensionsformel . Daher ist die Dimension des Bildes oder der sogenannte Rang 1. Kann denn eine lineare Abbildung injektiv sein, sofern der Kern nicht 0 dimensional ist? Kann denn eine lineare Abbildung surjektiv sein, sofern der Rang nicht gleich der Dimension des Vektorraums, in den abgebildet wird, ist? Kann schließlich die Abbildung noch bijektiv sein? |
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| 24.04.2013, 19:05 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zusammenhang: Dimensionsformel Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Die Dimension des Kerns ist 1, das ist richtig (damit hast du auch schon gezeigt, dass die Funktion nicht injektiv ist, du kannst auch einfach 2 Vektoren aus dem Kern angeben, die nach Definition beide auf den Nullvektor abgebildet werden) Die Dimensionsformel kannst du nun umstellen nach dim(Im(f)) Zusammen mit dim(Ker(f))=1 und dim(V) =2 folgt daraus, dass dim(Im(f))=1 ist. Nun ist aber die Dimension des Zielraumes gleich 2, daher kann die Funktion nicht surjektiv sein. Insgesamt ist die Dimensionsformel hier aber auch unnötig, du kannst jeweils durch Gegenbeispiele die Injektivität und Surjektivität widerlegen. |
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| 24.04.2013, 19:22 | Luxa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zusammenhang: Dimensionsformel Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Vielen Dank für eure Hilfe!!! Ich hatte gar nicht daran gedacht, dass ich die Dimension von V und W direkt ablesen kann. XD Habe ich das jetzt richtig Verstanden, dass wenn der Rang=dim(Im(f)) ungleich der dim(W) (für f:V->W) ist so kann die Abblidung nicht surjektiv sein? Un da in diesem Fall die Dimension von W wieder 2 ist, da die Abbildung in den R^2 abgebildet wird aber der Rang=1 ist, kann deswegen die Abbildung nicht surjektiv sein. Und da sie nun weder injektiv noch surjektiv ist kann sie ja per Definition auch nicht bijektiv sein! |
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| 24.04.2013, 19:24 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zusammenhang: Dimensionsformel Injektiv/Surjektiv/Bijektiv Richtig. Versuch mal, Gegenbeispiele für Injektivität und Surjektivität zu finden. |
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