Untervektorraum beweisen

24.04.2013, 17:27

HansimGlück

Untervektorraum beweisen

Hallo,

ich bin gerade am Anfang des Lineare Algebra Teils des Buchs "Mathematik für das erste Semester" und stoße bei folgender Aufgabe auf Schwierigkeiten
[attach]29737[/attach]

a)
In der Lösung wird als erstes gezeigt, dass der Nullvektor enthalten ist (wäre dieser nicht enthalten, wäre die Menge W_1 ja kein Untervektorraum, da der Nullvektor eine zwingende Bedingung für einen UVR ist.

Als nächstes wird die Addition zweier Vektoren aus dieser Menge und wie skalare Multiplikation eines Vektors aus dieser Menge geprüft, ob diese auch Elemente der Menge W_1 sind.

Gemacht wird dies, indem schlicht zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausgewählt werden und die Kriterien an diesen geprüft werden.

Meine Frage ist, wie würde ich nun ohne "ausprobieren" die Kriterien beweisen?

Ich wähle also einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

i) $\begin{eqnarray*} \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_2 \\ u_1 + v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} \lambda * \vec{u} = \begin{pmatrix} \lambda* u_1 \\ \lambda *u_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist somit also gezeigt, dass die Menge W_1 ein Untervektorraum ist?
Wenn ja, weshalb genau? Welche Überlegung hat hier stattgefunden?

24.04.2013, 17:35

Helferlein

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Wenn Du I und II zeigen würdest, hättest Du damit nachgewiesen, dass es sich um einen Untervektorraum (UVR) handelt. Das wird hier aber schwerlich gelingen Augenzwinkern