Gleichungssystem mit Gauß-Verfahren lösen

Neue Frage »

24.04.2013, 20:56	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit Gauß-Verfahren lösen Hallo zusammen! Ich habe gerade ein Problem beim Lösen dieser Aufgabe: Die folgende Matrix steht für ein Gleichungssystem mit den Variablen a, b, c und d. Wenden Sie den Gauß-Algorythmus an und bestimmen Sie die Variablen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 & 5 \\ -1 & -1 & -1 & 3 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ganz ungefähr wüsste ich was nun eig zutun ist: Durch geeignetes zusammenrechnen der Gleichungen die Variablen nacheinander eliminieren.. Aber irgendwie versteh ich's trotzdem noch nicht so ganz.. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
24.04.2013, 21:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Addiere solange (ggf. Vielfache von) Zeilen zu anderen Zeilen bis Du links die Einheitsmatrix stehen hast oder zumindest eine obere Dreiecksmatrix.
24.04.2013, 21:45	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Also z.B die 1. Zeile mit der Letzten addieren? : (1 1 1 1 = 3) + (-1 -1 -1 3 = -7) Sind: 0 0 0 4 = -4 Aber zu was gehören die Variablen ?
24.04.2013, 22:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem mit Gauß-Verfahren lösen Da Du von vier Variablen gesprochen hast, bin ich einfach mal davon ausgegangen, dass es um das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\4\\5\\-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ geht. Das wäre zumindest der übliche Hintergrund.
25.04.2013, 23:33	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Hmm.. So ganz hab ichs aber noch nicht raus glaube ich. "(1 1 1 1 = 3) + (-1 -1 -1 3 = -7) Sind: 0 0 0 4 = -4" Ist das in etwa der richtige Weg? Und wie schreibe ich das dann?
27.04.2013, 19:27	Lukas1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau das ist schon mal gut... Jetzt weißt du nämlich schon was dein "d" ist. Jetzt mach mal weiter bis du die untere Dreiecksmatrix hast.
Anzeige

28.04.2013, 22:31	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Also habe ich damit die Gleichung d "eliminiert" ? Und das gesamte Gleichungssystem sieht nun so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\4\\5\\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Und dann: 4d = -4 d = -1 ? Bin mir noch etwas unsicher über die Form des Ganzen. Auch wenn vorheriges alles falsch sein sollte, lege ich trotzdem nochmal nach: Wenn ich nun die Zeilen 2a - c rechne, sähe das ganze dann so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\4\\1\\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?? Würd mich freuen, wenn mir nochmal jemand helfen könnte
28.04.2013, 23:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht soweit ganz gut aus
29.04.2013, 22:02	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mache ich mal weiter: Wenn ich jetzt noch a - b rechne, müsste das Gleichungssystem folgend aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\-1\\1\\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .... Oder? Nun hätte ich ja diese "Dreiecksmatrix".. Aber wie geht's nun weiter? Leider stehe ich nun wieder aufm Schlauch.
29.04.2013, 23:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung stimmt. Schau Dir nun einmal die letzte Zeile an und welche Gleichung dahinter steckt. Lukas hatte Dir das oben auch schon einmal gesagt, aber anscheinend hast Du es überlesen. Danach schaust Du dir die vorletzte Zeile an usw.
30.04.2013, 23:10	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich immer gefragt, in welcher Beziehung die Zahlen zueinander stehen.. Nu hab ichs aber glaub ich verstanden: 4d = -4 d = -1 hatte ich bei der letzten Zeile/Gleichung raus. Für c: 11c = 1 c = 0,090909 Für b: 3 - 12b = -1 -12b = -3 - 1 -12b = -4 b = 0,333 Und für a: 1111a = 3 a = 0,0027 Ich hoffe das stimmt O.o
01.05.2013, 00:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nein. In der vorletzten Zeile steht keine 11, sondern zwei 1en. Das steht für 1c+1d=1 Wenn Du mit der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor nicht vertraut bist, dann schreib es Dir besser so auf: $\begin{eqnarray} :: \begin{matrix} a & b & c & d & : & =\end{matrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &\|&3 \\ 0 & 3 & -1 & 2 &\|&-1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \| & 1\\ 0 & 0 & 0 & 4 & \| & -4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.05.2013, 00:34	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Aaach so ist das. Hmm.. d = -1 habe ich ja bereits Dann vllt so: 1c + 1d = 1 1c + -1 = 1 1c = 1 + 1 c = 2 Und für b: 3b - 1c + 2d = -1 3b - 2 + (-2) = -1 3b = 2 + 2 + 1 3b = 3 b = 1 Und für a: a + b + c + d = 3 a + 1 + 2 - 1 = 3 a + 2 = 3 a = -2 + 3 a = 1 ??
01.05.2013, 00:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung stimmt
01.05.2013, 01:10	Tippexx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Dann wars das ja jetzt. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und Geduld :P

Neue Frage »

Antworten »

Gleichungssystem mit Gauß-Verfahren lösen

Verwandte Themen