Resultat aus der Konvergenz einer Folge

25.04.2013, 12:30

Mathilda-Luise

Resultat aus der Konvergenz einer Folge

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -a_{n} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Naja irgendwie hab gar keinen richtigen Ansatz. Das einzige, was ich weiß, ist ja, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n} -a ) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Und dann hatten wir in der Vorlesung auch noch, dass eine konvergente Folge beschränkt ist, aber ich weiß nicht so recht, wie mir das helfen soll.
Intuitiv ist ja irgendwie klar, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ denselben Grenzwert haben muss wie $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , weil das ja dieselbe Folge ist, die bei n=2 beginnt. Dementsprechend würde ich einfach den Grenzwert in die Differenz ziehen und dann natürlich auf 0 kommen, weil beide gegen a konvergieren; also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -a_{n} ) = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}- \lim_{n \to \infty} a_{n} = a -a = 0 \end{eqnarray*}$
Aber das ist wahrscheinlich zu einfach?

Vielleicht kann mir ja jemand helfen, danke schon mal smile

25.04.2013, 13:09

klarsoweit

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge

Zitat:

Original von Mathilda-Luise
Dementsprechend würde ich einfach den Grenzwert in die Differenz ziehen und dann natürlich auf 0 kommen, weil beide gegen a konvergieren; also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -a_{n} ) = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}- \lim_{n \to \infty} a_{n} = a -a = 0 \end{eqnarray*}$
Aber das ist wahrscheinlich zu einfach?

Nun ja, es ist im Grunde richtig. Allerdings darfst du so nur vorgehen, wenn ihr bewiesen habt, daß
a) eine Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert
b) der Grenzwert von der Differenz zweier konvergenter Folgen gleich der Differenz der Grenzwerte ist.

Ansonsten mußt du dich mit der epsilon-Definition des Grenzwerts begnügen. smile

25.04.2013, 20:10

Mathilda-Luise

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge
Vielen Dank erst mal für deine Antwort smile

Also b) haben wir bewiesen und a) müsste ja machbar sein, dann würde ich glaub ich so vorgehen. Aber wir würde man das nur mit der epsilon-Definiton beweisen? Da steh ich irgendwie total auf dem Schlauch, weil ich ja nur weiß, dass die Folge konvergiert...

26.04.2013, 10:12

klarsoweit

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge
Wähle epsilon > 0 beliebig. Dann gib es ein N_0 > 0, so daß $\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ ist für alle n > N_0. Mithin ist auch $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} - a| < \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n > N_0.

Addiere nun die beiden Ungleichungen. Der Rest ist trivial. Augenzwinkern

26.04.2013, 19:54

Mathilda-Luise

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge
hmm also wenn ich das machte, dann kriege ich:
$\begin{eqnarray*} |a_{n}-a_{n+1}|=|(a_{n}-a)-(a_{n+1}-a)|\leq |a_{n}-a|+|a_{n+1}-a|=\frac{\in }{2} + \frac{\in }{2} = \in \end{eqnarray*}$

aber...habe ich dann nicht gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$
konvergiert? verwirrt

27.04.2013, 16:01

Mathilda-Luise

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge
kann mir da jemand helfen? Erstaunt2

29.04.2013, 08:48

klarsoweit

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RE: Resultat aus der Konvergenz einer Folge

Zitat:

Original von Mathilda-Luise
aber...habe ich dann nicht gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$
konvergiert? verwirrt

Nee, du hast gezeigt, daß die Folge $\begin{eqnarray*} b_n := a_n - a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. smile

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