logistisches Wachstum

22.02.2007, 19:32

Dorika

logistisches Wachstum

Hey!

In einem tropischen regenwald lebt isoliert ein 5.000 menschen zählender indianerstamm. einer seiner bewohner wird unabsichtilich mit einer ungefährlichen, aber sehr ansteckenden krankheit infiziert. durch gegenseitige ansteckung in den darauf folgenden wochen zählt man nach 4 wochen bereits 300 kranke.

-> $\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{5.000}{1+4999e^{-20.000t}} \end{eqnarray*}$

joa,
a)habe dann den zeitpunkt bestimmt, an dem die hälfte der stammesbevölkerung erkrankt ist und soll nun herausfinden, was dieser zeitpunkt für die weitere ausbreitung hat.

da hab ich leider keine ahnung, würde aber mal darauf tippen, dass sich die krankheit ja jetzt eigentlich schneller ausbreiten müsste, da schon so viele befallen ist und es somit für den einzelnen wahrscheinlicher ist zu erkranken.

b) Wie groß ist in den ersten monaten die mittlere zunahme dan erkranken pro woche?

ok, hier müsste ich dann wahrscheinlich mal sagen, dass f(t) die anzahl der betroffenen ausdrückt, f'(t) also die momentane änderungsrate ist und t die zeit in wochen angibt.

mein ansatz war hier, f'(t) zu bilden und erstmal für t 8 einzusetzten und dann später durch 4 zu dividieren.

vielleich kann man ja auch
f'(1)/2
f'(2)/2
usw.
benutzen.

vielen dank!

22.02.2007, 22:29

yeti777

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RE: logistisches Wachstum
Hallo Dorika!

Wie kommst du auf dein $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ? Hast du verifiziert, ob nach 4 Wochen wirklich 300 Einwohner erkrankt sind?

Wie lange geht es nach deiner Berechnung bis die Hälfte der Einwohner erkrankt ist?

Bezüglich der Bedeutung dieses Zeitpunkts hilft dir vielleicht ein Graph der Funktion auf die Sprünge.

Gruss yeti

23.02.2007, 15:18

Dorika

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Danke für die Antwort,
das war sehr ermutigend.

Ja, es war angegeben, dass nach 4 wochen 300 indianer erkrankt waren.

dann hab dich die funktion einfach =2500 gesetzt und bekam für
t ungefähr 5,909
raus.
Jedoch weiß ich nciht, was mir das jetzt sagen soll.
ich denke mal, dass sich die krankheit jetzt ja am schnellsten verbreiten würde, bin mir aber ncicht sicher.
also liegt dort die größte steigung vor, da sich der graph danach ja der schranke nähert und an steigung verliert, weil es sich dann um exponentiell begrenzes wachstum handelt.

zub)
habe ich mir eigentlich ncihts mehr gedacht, da ein paar weitere leute auch den gleichen ansatz haben.
jedoch weiß ich dann nciht, wie mein prof auf das ergebnis kommt.

Edit: Bitte, was bedeutet verifiziert?

[Mod: Doppelten (gleichen) Beitrag entfernt.]

23.02.2007, 15:56

Zellerli

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verifizieren (lat. veritas - Wahrheit) bedeutet, dass du nachweißt, dass etwas wahr ist. Mehr Infos bei Wikipedia.

23.02.2007, 16:23

mYthos

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Wenn du das Bildungsgesetz des logistischen Wachstums zugrundelegst

1.: $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{G}{1 + b.e^{-G.k.t}} \end{eqnarray*}$

wobei G ein Grenzwert ist, der in endlicher Zeit nicht erreicht wird (die Zahl der Erkrankten kann bestenfalls G betragen).

oder auch (allgemeiner)

2.: $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{a}{1 + b.e^{k.t}} \end{eqnarray*}$

erkennst du, dass der Ansatz richtig ist. Offensichtlich ist aber ein Fehler hinsichtlich des Exponenten unterlaufen:

Es müsste sich nämlich ergeben:

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{5000}{1 + 4999.e^{-1,44136.t}} \end{eqnarray*}$

Kannst du dies nochmals nachrechnen und deine Rechnung mal zeigen, wenn du nichts Vernünftiges herausbekommst?

Hinweis: In die Funktion 2.: für t = 4 einsetzen, das muss 300 ergeben, daraus folgt eine Gleichung für k

Zu b)

Die momentane Änderungsrate [Erkrankte / Woche] wird tatsächlich durch die 1. Ableitung der Bestandsfunktion nach der Zeit beschrieben.

Die mittlere Änderungsrate kann immer nur zwischen zwei gegebenen Zeitpunkten $\begin{eqnarray*} t_1, \ t_2 \end{eqnarray*}$ angegeben werden und ist deren Differenzenquotient bezüglich der Funktion (wiederum in Erkrankte / Woche):

$\begin{eqnarray*} r_m = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1} \ \ \ldots \ \ t_2 > t_1 \end{eqnarray*}$

mY+

@Zellerli: Wenn etwas weiss angestrichen wird, heist es weissen, das kann man nachweisen .. Big Laugh

23.02.2007, 16:55

Dorika

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ok.....

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{aS}{a+(S-a)e^{-Skt}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{5000}{1+4999e^{-5000kt}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4)=\frac{5000}{1+4999e^{-20000k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+4999e^{-20000k}= \frac{50}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-20000k}=\frac{47}{14997} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k= \frac{ln(\frac{47}{14997})}{-20000} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k~0,000288273 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{5000}{1+4999e^{-5000\cdot 0,000288273t}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=2500 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5000}{1+4999e^{-5000\cdot 0,000288273t}}=2500 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{4999})=-5000\cdot 0,000288273t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t~5,909 \end{eqnarray*}$
_______________________________________

ahja schön, dann kann ich praktisch eine gerade durch (in diesem fall (0;1) und (8;?) gehen lassen und brauche nur ihre steigung?

ich hatte das jetzt durch das errechnen von f(1) bis f(8) versucht und abschließend durch 8 dividiert.

oder hab ich das jetzt flsch verstanden? Hammer

[Mod: Doppelpost zusammengefügt: Bitte EDIT verwenden!]

23.02.2007, 17:01

mYthos

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Na, der jetzige Exponent bei f(t) unterscheidet sich doch erheblich von den -20000.t am Anfang! Dann hättest du eigentlich schreiben können, dass du das schon anders gelöst hattest ... (und der Fall für dich erledigt ist?)

Was willst du eigentlich noch wissen?
Oder kann man das Thema nun abhaken?

mY+

ED:
Verfl..., schon wieder Doppel-/Nachpost, konnt ich noch nicht sehen

Nachtrag 2:

Ja, so muss die Vorgangsweise bei der Ermittlung der mittleren Änderungsrate sein!

23.02.2007, 17:20

Dorika

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ich hab 40, aber ist das nciht viel zu wenig?
wenn man bedenkt, dass die funktion bei t=5,909 einen hochpunkt bzw wendepunkt hat?

ich hab das jetzt eigentlich nur mit der 2-punkte-form berechnet und ich denke, dass das falsch ist.

tut mir leid, wenn ich deine nerven so strapaziere.... Mit Zunge

23.02.2007, 17:42

mYthos

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Ach wo, du strapazierst nix! (Die Nerven muss ma' bei dieser Arbeit eh aussen vor lassen Big Laugh

)

Die Funktion hat .. dort keinen Hochpunkt, sondern nur einen Wendepunkt (den Punkt mit der schnellsten Änderungsrate).

Wie hast DU das Mittel errechnet verwirrt

Ich habe

f(0) = 1 E
f(8) = 4766 E

m = 596 E/Wo (approx)

mY+

23.02.2007, 17:58

Dorika

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ja prima, ich dachte irgendwie, dass das mit f'(x) gemacht werden muss, weil f(t) doch die zahl der erkranken angibt und f'(t) somit die momentane änderungsrate....

naja vielen dank, ich bin jetzt mal etwas länger weg.

23.02.2007, 18:05

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Die mittlere Änderungsrate kann immer nur zwischen zwei gegebenen Zeitpunkten $\begin{eqnarray*} t_1, \ t_2 \end{eqnarray*}$ angegeben werden und ist deren Differenzenquotient bezüglich der Funktion (wiederum in Erkrankte / Woche):

$\begin{eqnarray*} r_m = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1} \ \ \ldots \ \ t_2 > t_1 \end{eqnarray*}$
...

Nimm's leicht! Wer lesen kann, ist klar im Vorteil! Big Laugh

mY+

24.02.2007, 09:29

Dorika

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Danke, lesen ist immer so ein Handycap.... Big Laugh

Was mir dazu noch einfällt: Man kann auch pber den Differentialquotienten ableitetn.....

vielen dank mY+!

25.02.2007, 00:38

mYthos

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.. dann ist es aber die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt und nicht mehr die mittlere Änderungsrate!!!

mY+

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