Summenformeln subtrahieren

25.04.2013, 15:06

WoelfchenLaila

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Summenformeln subtrahieren

Meine Frage:
Hallo!

ich hab da ein Problem in Sachen Summenzeichen.In der Schule hatten wir das nie durchgenommen und nun in der Uni brauch ichs natürlich und komm da nicht so ganz weiter.
Genrell hab ich verstanden wie es läuft,aber mir fehlt irgendwie der Ansatz wie man 2 Summenzeichen voneinander zb subtrahiert.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{100}(k+1)^2 - \sum\limits_{k=0}^{99}(k+1)^2 \end{eqnarray*}$

also beim 1. Summenzeichen ist n=100 und beim 2. ist n=99(hab das im Formeleditor nicht hinbekommen)

Hab's für Dich erledigt. Geschweifte Klammern wirken hier Wunder. Die LaTeX-Tags links und rechts haben auch gefehlt. Steffen

So und ich weiß nicht so recht wie ich das ausrechnen soll..

Meine Ideen:
Ich habs mir folgendermaßen gedacht:

Es hebt sich ja der größte Teil auf.Beim 1. Summenzeichen ist ja k=0 nicht enthalten und beim 2. Summenzeichen ist n=100 nicht enthalten.
Jetz dachte ich mir:

(100+1)^2-1=10200

aber das ist ja nicht richtig.
Und ich weiß einfach nicht wie ich aufs richtige Ergebnis komme!

Bin im übrigen ziemlich schwer von Begriff in Mathe smile

smile

Hoffe ihr könnt helfen!

25.04.2013, 15:12

klarsoweit

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RE: Summenzeichen subtrahieren

Zitat:

Original von WoelfchenLaila
Es hebt sich ja der größte Teil auf.Beim 1. Summenzeichen ist ja k=0 nicht enthalten und beim 2. Summenzeichen ist n=100 nicht enthalten.
Jetz dachte ich mir:

(100+1)^2-1=10200

aber das ist ja nicht richtig.

Und wieso sollte das nicht richtig sein?

25.04.2013, 15:16

10001000Nick1

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Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{99} (k+1)^2=\sum\limits_{k=1}^{100} ((k-1)+1)^2=\sum\limits_{k=1}^{100} k^2 \end{eqnarray*}$

Also ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{100} (k+1)^2-\sum\limits_{k=0}^{99} (k+1)^2=\sum\limits_{k=1}^{100} (k+1)^2-\sum\limits_{k=1}^{100} k^2 \end{eqnarray*}$

Hilft dir das weiter?

25.04.2013, 15:41

Grautvornix

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Hilft dir das weiter?

Schwer vorstellbar und offenbar unnötig, weil Woelfchen hier:

Zitat:

Es hebt sich ja der größte Teil auf.Beim 1. Summenzeichen ist ja k=0 nicht enthalten und beim 2. Summenzeichen ist n=100 nicht enthalten.
Jetz dachte ich mir:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{100}(k+1)^2-\sum_{k=0}^{99}(k+1)^2=(100+1)^2-1=10200 \end{eqnarray*}$

vom richtigen Grundgedanken zur korrekten Lösung gelangt.

Offen bleibt also nur die von klarsoweit bereits formulierte Frage...

25.04.2013, 19:32

WoelfchenLaila

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Danke!!!
Huhu ich bin's noch mal smile

smile

Ich dachte das Ergebnis sei falsch o.O dann hab ich's wohl eher falsch abgeschrieben von der Tafel^^

Ich werde dieses Semester bestimmt öfter hier im Forum rumschleichen smile

smile

total toll dass ,die Antworten so schnell kommen smile

smile

Ich bin im rechnen mit dem Summenzeichen immer noch sehr unsicher und da uns unser Professor nur einige Lösungen gibt ,ist es schwer für mich rauszufinden ob ich jetzt die richtige Lösung hab!
Deshalb bin ich froh ,dass es dieses tolle Forum gibt!

Ich hätte da auch gleich noch eine Frage.Und zwar ob man Summenzeichen direkt ausrechnen kann.Mich würd interessieren ob ich die 2 Summenzeichen in meiner obigen Fragestellung einfach so einzeln berechnen könnte ohne Indexverschiebung.Gibt es da eine Formel?

26.04.2013, 10:08

klarsoweit

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RE: Danke!!!
Google ist dein Freund. smile

smile

Vielleicht hilft das: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

Aber gerade bei der 1. Summe wirst du um eine Indexverschiebung nicht herumkommen.

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26.04.2013, 10:31

Grautvornix

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RE: Danke!!!

Zitat:

Original von klarsoweit
Aber gerade bei der 1. Summe wirst du um eine Indexverschiebung nicht herumkommen.

Na ja, viele Wege führen nach Rom...

Möglich wäre ja auch folgendes

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{100}(k+1)^2=\sum_{k=1}^{100}(k^2+2k+1)=\sum_{k=1}^{100}k^2+2\sum_{k=1}^{100}k+\sum_{k=1}^{100}1. \end{eqnarray*}$

Aber zugegebenermaßen eleganter geht's so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{100}(k+1)^2=\sum_{k=2}^{101}k^2=\left(\sum_{k=1}^{101}k^2\right)-1 \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 22:35

WoelfchenLaila

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Noch ein Summenzeichen
Ja ich hab schon wider ein Problem.

Unser Prof gibt uns ja wie erwähnt nicht alle Lösungen und an dieser Aufgabe sitze ich auch wiedermal seit ner Stunde un frag jetzt einfach nach,wo mein Denkfehler steckt!

Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=5}^{225}(k^{2}-6k+8) \end{eqnarray*}$

Sooo und jetzt hab ich -145197.Naja und das stimmt wahrscheinlich nicht.

Bevor ich jetzt weiterschreibe müsste ich mal nachfragen wie das mit diesen $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ gemeint ist o.O?

Ich hab meine Formel da eingefügt aber irgendwie kommt nich das raus was raus komm soll verwirrt

verwirrt

26.04.2013, 22:53

WoelfchenLaila

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Alles klar
Okay gut das hat sich erledigt!
Ich hatte es doch richtig gemacht mit dem Latex smile

smile

weiter zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-6k+11) \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-(k^{2}-6k+11) \end{eqnarray*}$

Das alles hab ich dann zusammgefasst und noch eine Indexverschiebung gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{221}(-6k+9) \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Summen zerlegt:

$\begin{eqnarray*} -6\sum\limits_{k=1}^{221}k+\sum\limits_{k=1}^{221}9 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich das 1. Summenzeichen mit folgender Formel ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2}n \end{eqnarray*}$

und das 2. Summenzeichen dann nach den Regeln(also 221*9)

naja un da kommt halt -145197 raus....

29.04.2013, 08:46

klarsoweit

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RE: Noch ein Summenzeichen

Zitat:

Original von WoelfchenLaila
weiter zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-6k+11) \end{eqnarray*}$

Das jetzt aber nicht das gleiche wie:

Zitat:

Original von WoelfchenLaila
Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=5}^{225}(k^{2}-6k+8) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von WoelfchenLaila
Bevor ich jetzt weiterschreibe müsste ich mal nachfragen wie das mit diesen $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ gemeint ist o.O?

Welches "und"? verwirrt

verwirrt

29.04.2013, 22:08

WoelfchenLaila

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RE: Noch ein Summenzeichen
Öhm wieso da ein "und" steht versteh ich selber nich aber die frage hatte sich eh erledigt^^ich wusste nicht wie ich das hin bekomm,dass die im Formeleditor erstellten Summenzeichen auch als solche dargestellt werden,aber ich habs dann doch geschnallt^^

Und die eigentliche Aufgabe ist die oberste:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=5}^{225}(k^{2}-6k+8) \end{eqnarray*}$

Die untere Aufgabe stellt das dar,was bei mir rauskommt,wenn ich bei meiner eigentlichen Aufgabe eine Indexverschiebung beim 2. Summenzeichen mach:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-1)-\sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-6k+11) \end{eqnarray*}$

smile

smile

IIch kann mich manchmal einfach nicht ausdrücken!Tut mir leid!Ist es jetzt verständlich was ich mein?

30.04.2013, 08:46

klarsoweit

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RE: Noch ein Summenzeichen
Die Indexverschiebung ist etwas mißlungen. In der 2. Summe willst du anscheinend die Substitution k = j + 3 machen. Dann mußt du auch jedes k in der 2. Summe entsprechend ersetzen.

02.05.2013, 14:32

WoelfchenLaila

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Hallo
Achso..
das würde dann heißen korrekt sähe das ganze dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}-3k+11) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

Weiß jemand zufällig ob es im Internet Seiten gibt,wo man solche ähnlichen Aufgaben üben kann?

02.05.2013, 15:42

klarsoweit

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RE: Noch ein Summenzeichen
Also für mich ist nicht erkennbar, daß du jedes k in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=5}^{225}(k^{2}-6k+8) \end{eqnarray*}$ mit j+3 ersetzt hast.

15.05.2013, 22:18

WoelfchenLaila

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RE: Noch ein Summenzeichen
Hallo und entschuldigung,dass ich mich so lang nicht gemeldet hab,aber die Uni war einfach zu stressig.

Währenddessen hab ich trotzdem noch nen bisschen rumprobiert un komme auf folgendes:

Ich will ja die 2. Summe an die 1. Summe anpassen durch Indexverschiebung.
Will also aus k=5 ein k=2 und ausn=225 ein n=222 machen.

Ich ziehe dann also dort die "Zahl 3" ab un addiere dann zu $\begin{eqnarray*} k^{2} \end{eqnarray*}$ +3 und adiere dann zu k+8 auch noch die 3....

und dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{222}(k^{2}+3-6k+11) \end{eqnarray*}$

Oder ist da immernoch nen Denkfehler drin >.<?

16.05.2013, 08:54

klarsoweit

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RE: Noch ein Summenzeichen
Der Fehler ist, daß du willkürlich zu irgendwas eine 3 addierst. Unter anderem auch zu "k+8". Wo du die hernimmst, ist mir völlig schleierhaft. Richtig wird es nur dadurch, daß du jedes k in dem Summanden durch (j+3) ersetzt.

24.09.2014, 18:08

Summenformel1234

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RE: Summenformeln subtrahieren
Hallo,

Ich kenne mich mit Summenformeln leider (noch) nicht so gut aus.
Ich würde gerne folgende Summenformel subtrahieren und ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=2}^n (p+2)(p+3) - \sum\limits_{x=1}^n p(p+2) \end{eqnarray*}$

für das erste n=101
für das zweite n= 100

Kann mir bitte jemand genau erklären, wie ich das in meinem Beispiel machen muss ?
Danke an alle, die das Thema voran bringen

25.09.2014, 08:47

klarsoweit

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RE: Summenformeln subtrahieren
Falls p der Laufindex der Summe sein soll, ist also wohl dieses gemeint: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p=2}^{101} (p+2)(p+3) - \sum\limits_{p=1}^{100} p(p+2) \end{eqnarray*}$

Als erstes mußt du die Summen so umformen, daß der Summationsindex jeweils über dengleichen Bereich läuft. Dazu kannst du
- entweder in der ersten Summe den letzten Summanden und in der zweiten Summe den ersten Summanden rausziehen
- oder in einer der Summen eine Indexverschiebung machen, beispielsweise in der ersten mit p = k + 1 .

25.09.2014, 17:40

Summenformel1234

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RE: Summenformeln subtrahieren
mmh wie würde das ganze dann aussehen ?

25.09.2014, 19:47

Summenformel1234

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RE: Summenformeln subtrahieren
Es wäre klasse, wenn jemand diesbezüglich vllt die Zwischenschritte aufschreiben könnte.

25.09.2014, 22:07

klarsoweit

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RE: Summenformeln subtrahieren
Wir machen das hier so: du schreibst und wir kommentieren. Ich weiß auch nicht, wo das Problem ist. Du mußt doch nur die von mir genannte Indexverschiebung machen.

26.09.2014, 10:37

Summenformel1234

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RE: Summenformeln subtrahieren
Tatsache, schwierig ist das nicht. Der Hintergrund meiner "Verwirrung" ist letztlich, dass die Aufgabenstellung ein wenig Interpretationsspielraum zulässt... Die beiden Summen müssen subtrahiert werden, eigentlich soweit klar, Taschenrechner eingeben und aufs Ergebnis warten. Oder auf mehrere Seiten ausführlich rechnen von 2 - 101. Richtig war bzw ist, das ganze einfach im GTR ausrechnen zu lassen, mehr war nicht gefordert... Hammer

Hammer

// Ich frage mich nur, was das ganze dann bringen soll...

26.09.2014, 11:22

klarsoweit

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RE: Summenformeln subtrahieren
Ich auch. geschockt

geschockt

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