Alternativ und Signifikanztest Probleme

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25.04.2013, 15:20	MatheAzubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ und Signifikanztest Probleme Hallo Liebe Gemeinde Nächsten Montag schreibe ich mein Mathe Abitur LK jedoch habe ich ein großes Problem, unser Mathe Lehrer ist bekannt dafür, dass er den Stoff sehr Oberflächlich durch arbeitet und auch mehr erzählt als unterrichtet. Dies hat sich auf das Thema Stochastik ausgewirkt , wodurch wir zum Signifikanztest und Alternativtest nur 2 Arbeitsblätter bekommen haben. Ich bitte euch mir zu helfen, indem ihr mir tipps geben könnt wofür die tests sind und wie man solche erkennt. Das einzige was ich weiß ist , dass sie dazu dienen um die Nullhypothese zu kontrollieren und sie mithilfe der Varianz?! berechnet wird. Vielen dank im voraus!
26.04.2013, 17:59	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun es kommt ganz darauf an was in der Aufgabe verlangt wird. Ich schreibe Montag auch Mathe Abi LK (Sachsen-Anhalt). Was du wissen solltest: Zum Alternativtest: Es gibt 2 Hypothesen (Nullhypothese und Alternativhypothese), mit je festen Wahrscheinlichkeiten, die du gewöhnlich aus der Aufgabe herausfindest. Zu beiden Hypothesen, musst du den Annahmebereich ermitteln, dazu benötigst du die kritische Zahl. Der ist gewöhnlich auch aus der Aufgabe herauszufinden. Sinn und Zweck ist es aus diesen Angaben den Alpha- und Betafehler zu ermitteln. Unter dem Alpha-Fehler versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Oder anders formuliert: Man entscheidet sich für die Alternativhypothese obwohl die Nullhypothese wahr ist. Der Beta-Fehler ist natürlich genau das Gegenteil: Man entscheidet sich für die Nullhypothese, obwohl die Alternativhypothese wahr ist. Beispiel aus "Mathematik Band 2 Sachsen Anhalt" (Cornelsen) Ein Gärtner übernimmt einen Posten von großen Behältern mit Blumensamen. Der Inhalt einiger Behälter ist zu 70% keimfähig, der Inhalt der restlichen jedoch nur 40%. Es ist aber nicht bekannt, um welche Behälter es sich handelt. Um dies festzustellen, wird jedem Behälter eine Stichprobe von 10 Samen entnommen und einem Keimversuch unterzogen. Geht mehr als die Hälfte der Samen an, wird dem Samen eine im entsprechenden Behälter eine Keimfähigkeit von 70% zugeordnet, andernfalls nur eine von 40%. a) Welche Irrtümer können auftreten? b) Wie groß sind die Irrtumswahrscheinlichkeiten? c) Wie muss die Entscheidungsregel gewählt werden, damit der Alpha-Fehler höchstens 5% beträgt? Zuerst stellen wir mal die Hypothesen auf: $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ Die Samen werden den Behälter mit niederer Keimfähigkeit zugeordnet. $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ Die Samen werden den Behälter mit höherer Keimfähigkeit zugeordnet. Wir brauchen noch die Entscheidungsregel, wann wir uns für diese Hypothesen entscheiden. In der Aufgabe steht: Geht mehr als die Hälfte der Samen an, wird dem Samen eine im entsprechenden Behälter eine Keimfähigkeit von 70% zugeordnet, andernfalls nur eine von 40%. Unsere kritische Zahl ist also die Hälfte von 10. Also 5. Und weil "mehr als 5" gilt für $\begin{eqnarray} H_1: X>5 \end{eqnarray}$ Es gilt also: $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0=0,4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_1=0,7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X>5 \end{eqnarray}$ _______________________________________ a) Fehler 1. Art: Ich entscheide mich für den Behälter höherer Keimfähigkeit, obwohl die Samen eine niedere Keimfähigkeit haben (Alpha-Fehler). Fehler 2. Art:Ich entscheide mich für den Behälter niederer Keimfähigkeit, obwohl die Samen eine höhere Keimfähigkeit haben (Betaa-Fehler). b)Wie gesagt gilt: für den 1. Fehler: Ich entscheide mich für $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , obwohl $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ wahr ist. $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1) \end{eqnarray}$ Jetzt wenden wir die Binomialverteilung an. Wir wählen den Annamebereich von $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ und die Einzelwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ , weil es die Bedingung ist. $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1)=B(10; 0,4; k>5)=1-B(10; 0,4; k\leq5)=1-0,83376=0,16624 \end{eqnarray}$ Das gleiche machen wir mit dem Beta-Fehler, mit dem Annahmebereich von $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \beta=P_{H_1}(H_0)=B(10; 0,7; k\leq5)=0,15027 \end{eqnarray}$ c) Es soll gelten $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1) \leq 0,05 \end{eqnarray}$ Wir kennen aber die kritische Zahl jetzt nicht, aber dafür die Endwahrscheinlichkeit Es gilt also für den Alpha Fehler: $\begin{eqnarray} X>K \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(10; 0,4; k>K)=1-B(10; 0,4;k \leq K) \leq 0,05 \end{eqnarray}$ Umgstellt steht dann da: $\begin{eqnarray} B(10; 0,4;k \leq K) \geq 0,95 \end{eqnarray}$ Jetzt schaust du in deinen Binomialtabellen bei $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p=0,4 \end{eqnarray}$ und zwar in der zweiten Spalte (die aufsummierten), wegen $\begin{eqnarray} k \leq K \end{eqnarray}$ , ab welcher Zahl der Wert größer oder gleich 0,95 ist. Diese Zahl ist dann die kritische Zahl. Und die Lösung ist hier: $\begin{eqnarray} K=7 \end{eqnarray}$ Die neue Entscheidungsregel, um den Alpha-Fehler auf 5% zu verkleinern lautet also: $\begin{eqnarray} X>7 \end{eqnarray}$ ______________________________________ Der Signifikanztest folgt in den nächsten Beiträgen.
26.04.2013, 18:40	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt 2 Arten von Signifikanztests. Den einseitigen Signifikanztest und den zweiseitigen Signifikanztest. Zum einseitgen Signifikanztest: Das Prinzip ist hier das gleiche wie beim Alternativtest. Das Gute ist hier aber, das nur der Alpha-Fehler bestimmt werden kann. Du erkennst einen einseitigen Signifikanztest daran, dass die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese nicht eindeutig gegeben ist, sondern zum Beispiel mit $\begin{eqnarray} p_1>0,3 \end{eqnarray}$ . Somit kann der Beta- Fehler nicht eindeutig ermittelt und daher wird nur erwartet den Alpha-Fehler (das Signifikanzniveau) zu bestimmen. Beispiel aus gleicher Quelle Ein Pharma-Hersteller hat ein neues Medikament gegen Schlaflosigkeit entwickelt. Das beste bereits auf dem Markt eingeführte Medikament mit vergleichbar geringen Nebenwirkungen zeigt in 50% der Anwendungsfälle eine ausreichende Wirkung. Erste Anwendungen lassen die Forscher die Hypothese aufstellen, dass das neue Medikament in einem noch größeren Anteil der Anwendungsfälle ausreichend wirkt. Dies soll in einer Studie an 50 Patienten überprüft werden. Die Forscher sind vorsichtig und legen fest, dass die Hypothese nur dann angenommen werden soll, wenn das Medikament bei mehr als 30 Patienten ausreichend wirkt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dem Medikament eine bessere Wirkung als dem altem Medikament zugesprochen, wenn dieser Sachverhalt in Wirklichkeit gar nicht zutrifft. b) Die Entscheidungsregel soll so bestimmt werden, dass der Test ein Signifikanzniveau von 1% hat. Das wichtige ist immer den Text erstmal zu verstehen. Danach stellen wir die Hypothesen mit den zugehörigen Werten auf. $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ Das neue Medikament ist genauso gut wie das alte. $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ Das neue Medikament ist besser als das alte. Die Stichprobe umfasst 50 Patienten, also $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ . Jetzt zu den Wahrscheinlichkeiten und den Entscheidungsregeln: $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0=0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \leq 30 \end{eqnarray}$ weil das neue Medikament nur dann als genauso gut eingestuft wird, wenn es bei weniger oder genau 30 Patienten wirkt. $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ ist die Hypothese der Forscher $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_1 > 0,5 \end{eqnarray}$ weil vermutet wird, dass das Medikament bei mehr als 50% wirkt. $\begin{eqnarray} X > 30 \end{eqnarray}$ weil das neue Medikament nur dann als besser eingestuft wird, wenn es bei mehr als 30 Patienten wirkt. _______________________________________________ a) Wir wollen jetzt prüfen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Hypothese der Forscher falsch ist. $\begin{eqnarray} P_{H_0}(H_1): \end{eqnarray}$ dem Medikament wird einer höhere Wirkung zugeschrieben, obwohl es genauso wirkt ist wie das alte. Zur Berechnung gehen wir wie beim Alternativtest vor. Wir wählen den Annahmebereich von $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , aber die Bedingung, dass $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ wahr ist, also die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1)=B(50;0,5;k>30)=1-B(50;0,5;k \leq 30)=1-0,9405=0,0595 \end{eqnarray}$ b) Hier geht man wieder wie beim Alternativtest vor. $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1)=B(50;0,5;k>K) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-B(50;0,5;k \leq K) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(50;0,5;k \leq K)=F(50;0,5;K) \geq 0,99 \end{eqnarray}$ Wir schauen wieder in den Tabellen nach und sehen, dass ab $\begin{eqnarray} K=33 \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} F(50;0,5;K) \geq 0,99 \end{eqnarray}$ stimmt. $\begin{eqnarray} K \geq 33 \end{eqnarray}$ Das neue Medikament muss also bei mindestens 33 Patienten wirken, damit ihm eine bessere Wirksamkeit zugesprochen wird.
26.04.2013, 19:46	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum zweiseitigen Signifikanztest: Hier gibt es nur einen Alpha-Fehler. Der Alpha Fehler setzt sich aber aus 2 Intervallen zusammen. Du erkennst eine solche Aufgabe, wenn eine Wahrscheinlichtkeit gegeben ist mit $\begin{eqnarray} p \neq 0,5 \end{eqnarray}$ . Beispiel Eine Fernsehserie hatte im Vorjahr eine Einschaltquote von $\begin{eqnarray} H_0: p=40% \end{eqnarray}$ . Es soll geprüft werden, ob sich die Einschaltquote im neuen Jahr verändert hat, d.h. ob nun $\begin{eqnarray} H_1: p \neq 40% \end{eqnarray}$ gilt. Es werden 50 Personen befragt. Man entscheidet sich für eine veränderte Einschaltquote, wenn weniger als 10 oder mehr als 30 Personen die Serie schauen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit irrtümlich auf eine veränderte Einschaltquote aus der Befragung zu schließen. b) Das Risiko soll auf 2% begrenzt werden. Formulieren Sie die neue Entscheidungsregel. Fassen wir wieder zusammen: $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ Man entscheidet sich für eine gleichbleibende Einschaltquote. $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0=0,4 \end{eqnarray}$ Annahmebereich: $\begin{eqnarray} 10 \leq X \leq 30 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ Man entscheidet sich für veränderte Einschaltquoten. $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_1 \neq 0,4 \end{eqnarray}$ Annahmebereich: $\begin{eqnarray} X<10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X>30 \end{eqnarray}$ _____________________________________ a) Man entscheidet sich also für die Veränderung, obwohl es keine gibt. $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p=0,4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X>30 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X<10 \end{eqnarray}$ Die Fehlerwahrscheinlichkeit setzt sich also aus 2 Intervalllen zusammen (deshalb zweiseitig). $\begin{eqnarray} \alpha=P_{H_0}(H_1) =B(50; 0,5; k>30)+B(50; 0,5; k<10)=1-B(50; 0,5; k \leq 30)+B(50; 0,5; k \leq 9)=1-0,94054+0=0,05946 \end{eqnarray}$ Man kann auch über das Gegenereignis gehen, indem wir für das Gegenereignis den Annahmebereich der Nullhypothese wählen: $\begin{eqnarray} 1-B(50; 0,5; 10 \leq X \leq 30)=1-(F(50; 0,5;30)-F(50; 0,5;9))=1-(0,94054-0)=0,05946 \end{eqnarray}$ b) Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} X>K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X<K_2 \end{eqnarray}$ Die 2% teilen sich dabei gleichmäßig auf die Intervalle auf. Das heißt: $\begin{eqnarray} B(50; 0,5; k>K_1) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-B(50; 0,5; k \leq K_1) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(50; 0,5; k \leq K_1) \geq 0,99 \end{eqnarray}$ Aus der Tabelle ergibt sich: $\begin{eqnarray} K_1 \geq 33 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(50; 0,5; k<K_2) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(50; 0,5; k \leq K_2-1) \leq 0,01 \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich aus der Tabelle: $\begin{eqnarray} K_2<17 \end{eqnarray}$ Oder $\begin{eqnarray} K_2 \leq 16 \end{eqnarray}$ Die neue Entscheidungsregel lautet also: $\begin{eqnarray} X \leq 16 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \geq 33 \end{eqnarray}$ . Man entscheidet sich also zu 2% irrtümlich für eine Veränderung, wenn höchstens 16 oder mindestens 33 Personen die Serie schauen.
26.04.2013, 19:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@Yu: sehr gut Da das immer wieder nachgefragt wird, würde ich vorschlagen, dass du mit diesem Material einen Workshop machst. Als Zugabe evtl. noch die Approximation mit Standardnormalverteilung. Gut, muss nicht heute sein, aber demnächst. Gruss Dopap
26.04.2013, 19:59	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dopap. Ja, das kann ich machen. Ich stell morgen noch ein Beispiel rein, in dem ich bei einem Alternativtest die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiere. Der Vorgang lässt sich dann ja auch auf die Signifikanztests übernehmen.
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26.04.2013, 21:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr schön. Mach' das. Und mach' daraus bitte keine theoretische Vorlesung, sondern bleib konsequent bei den guten Beispielen und rechne die wie gehabt lückenlos durch. Das ist nämlich oft der Knackpunkt im Schulbereich: es fehlt zuweilen an sauber durchgerechneten Beispielen. Und die können manchmal mehr erklären wie die beste Theorie... Sagt der Praktiker
26.04.2013, 23:00	MatheAzubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank und viel GLück
05.05.2013, 23:10	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
@MatheAzubi: @Yu: Bitte keine privaten Unterhaltungen in einem Sachthema posten, dafür gibt es die PN-Funktion. Eure Beiträge über Herkunft und Schwierigkeitsgrad der Prüfung habe ich entfernt und Euch ausnahmsweise per PN geschickt.

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