Offenen Kern bestimmen

25.04.2013, 16:36

Specialagent

Offenen Kern bestimmen

Hallo, ich soll für folgende Menge den offenen Kern bestimmen.

M = { x aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ }

Das Problem ist nur, ich weiß nicht wie man sowas macht, da in der Vorlesung kein Beispiel dazu gerechnet wurde bzw. überhaupt nichts dazu gesagt wurde. Nun stehe ich natürlich auf dem Schlauch.
Es wäre nett, wenn mir jmd. verraten könnte wie man an solche Aufgaben rangeht bzw. was ich überhaupt ausrechnen möchte/muss. Am besten wäre ein anderes Beispiel zu dieser Aufgabe, oder evtl. ein hilfreicher Link, der mir zeigt, was zu tun ist. Danke!

25.04.2013, 17:05

Leopold

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Die Menge besitzt eine geometrische Deutung. Wo liegen alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ der euklidischen Ebene mit $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ (Tip: Fange mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$ an). Wenn die Menge einen Rand besitzt (diesen mußt du dir ganz anschaulich vorstellen), dann laß ihn weg. Und schon hast du den offenen Kern.

25.04.2013, 17:54

Specialagent

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Danke für die Antwort, ich versuche mich mal daran.

Zitat:

Original von Leopold
Wo liegen alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ der euklidischen Ebene mit $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ (Tip: Fange mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$ an).

Für $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$ liegen doch alle Punkte einfach nur auf der Geraden durch den Ursprung? Dann liegen also die Punkte für $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ auf der Geraden durch den Ursprung und in der Fläche, die eben > 0 ist (ich kann das gerade nicht besser erklären).

Zitat:

Original von Leopold
Wenn die Menge einen Rand besitzt (diesen mußt du dir ganz anschaulich vorstellen), dann laß ihn weg. Und schon hast du den offenen Kern.

Woher weiß ich, ob die Menge einen Rand besitzt?

25.04.2013, 19:59

Leopold

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Zitat:

Original von Specialagent
Für $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=0 \end{eqnarray*}$ liegen doch alle Punkte einfach nur auf der Geraden durch den Ursprung?

Richtig. Genauer ist es die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten (also von links oben nach rechts unten).

Zitat:

Original von Specialagent
Dann liegen also die Punkte für $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ auf der Geraden durch den Ursprung und in der Fläche, die eben > 0 ist (ich kann das gerade nicht besser erklären).

Na ja, es sind die Punkte, die oberhalb der besagten Gerade oder auf ihr liegen (warum?). Die Menge ist also eine abgeschlossene Halbebene (warum "abgeschlossen")?
Und was sind wohl die Randpunkte dieser abgeschlossenen Halbebene? Und die mußt du weglassen. Dann bekommst du den offenen Kern.

Natürlich genügt dieses naive Vorgehen nicht. Es soll dir nur einen ersten Zugang ermöglichen. Danach solltest du schleunigst überlegen, wie das alles zu den abstrakten Definitionen ("abgeschlossen", "offen", "abgeschlossene Hülle", "offener Kern", "Rand"), die ihr sicher in der Vorlesung durchgenommen habt, paßt.

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