Integral bestimmen

25.04.2013, 18:07

Clara21

Integral bestimmen

Ich soll folgendes uneigentliches Integral bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-|ax|} \, dx \end{eqnarray*}$

Mein einziges problem besteht im Betrag.
Ich weiss nicht recht was ich damit machen soll.

Ich wollte jetzt substituieren, und dann erstmal die stammfunktion bilden. Aber dafür sollte ich ja zunähst einmal den Betrag irgendwie auflösen oder ?

Ich habe sonst immer die funktion in zwei geteilt, also für x>=0 |x|=x und für x<0 |x|:=-x gesetzt.

Aber das ist beim integrieren hier vll nicht ganz so sinvoll oder, weil ich ja hinterher den Grenzwert bestimmen muss.

25.04.2013, 18:20

Clara21

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Aufsplitten wäre eine möglichkeit oder ?

Also das Integral von -unendlich bis x mit x gegen 0 + integral von 0 bis +uendlich

25.04.2013, 18:21

chris95

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RE: Integral bestimmen
Hi Clara

Zitat:

Original von Clara21
Ich habe sonst immer die funktion in zwei geteilt, also für x>=0 |x|=x und für x<0 |x|:=-x gesetzt.

Das darfst du schon machen.

Noch einfacher ist aber, wenn du siehst, dass die Funktion gerade ist, also musst du nur nen Faktor 2 vorne dran multiplizieren und nur ueber die positiven Zahlen integrieren. Dann kannste den Betrag ganz weglassen.

Gruss, chris

25.04.2013, 18:25

Clara21

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Ah wegen der Symmetrie. Da hab ich garnicht dran gedacht.

Aber stimmt du hast recht. vielen dank

25.04.2013, 18:52

Clara21

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Ah okay ich habs jetzt mit der Symmetrie gemacht:

Dann hab ich herausbekommen, dass das integral nicht konvergiert.

Aber:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \int_{-\infty }^t \! e^{ax} \, dx + \int_{0}^\infty \! e^{-ax} dx \end{eqnarray*}$

wäre ebenfalls korrekt ?

26.04.2013, 00:24

chris95

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Doch das Integral konvergiert schon, was hast du denn gerechnet?

26.04.2013, 01:08

Clara21

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Also wenn ich die Symmetrie ausnutze

$\begin{eqnarray*} 2\int_{0} ^\infty \! e^{-ax} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int_{0} ^\infty \! e^{-ax} \, dx = \frac{2}{a} \int_{0} ^\infty \! e^{-ax} \, dx = \frac{2}{a} \left[e^{-ax}\right] = \frac{2}{a}\cdot \lim_{z \to \infty} e^{-az} - 1 = \frac{2}{a} \cdot 0 - \frac{2}{a} = \frac{2}{a} \end{eqnarray*}$

Stimmt ich hab mich da irgendwo vertan.
Dachte weil der \lim_{z \to -\infty} e^{-az} nicht existiert, aber dann hab ich ja einen ganz anderen fall Hammer

26.04.2013, 08:50

chris95

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Zitat:

Original von Clara21

$\begin{eqnarray*} 2\int_{0} ^\infty \! e^{-ax} \, dx = \frac{2}{{a}} \int_{0} ^\infty \! e^{-ax} \, dx = \frac{2}{a} \left[e^{-ax}\right] = \frac{2}{a}\cdot \lim_{z \to \infty} e^{-az} - 1 = \frac{2}{a} \cdot 0 - \frac{2}{a} = \frac{2}{a} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis stimmt, aber nur zufaellig. Hier machst du mehrere gravierende Fehler, wie z.B. falsch Integrieren, multiplizieren von irgendwelchen Faktoren, und weitere Vorzeichenfehler. Versuch's nochmal, konzentriere dich dabei.

Gruesse, chris

26.04.2013, 19:44

Clara21

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Zitat:

Mh okay, ich probiers mal.

Also vll sollte man noch hinzufügen

$\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R /\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int_{0} ^\infty \! e^{-|a|x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int_{0} ^\infty \! e^{-|a|x} \, dx = -\frac{2}{|a|} \left[ e^{-|a|x}\right]^\infty_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{|a|}(\lim_{z \to \infty} e^{-|a|z}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{2}{|a|}\cdot (0-1) = -\frac{2}{|a|}\cdot (-1) = \frac{2}{|a|} \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 19:46

chris95

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Viel besser smile

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