Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Meine Frage:
Hallo Leute, ich stehe gerade vor der folgenden Aufgabe:

Sei eine Gruppe mit für eine Primzahl . Dann ist G entweder zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen mit Ordnung p.

Also ich habe schon gezeigt, dass die Gruppe abelsch ist. Ich weiß auch, dass Gruppen mit primzahlordnung also zyklisch sind.

Ich wollte jetzt das ganze so ähnlich wie für primzahlordnungen zeigen, aber ist ja i.A. keine Primzahl.

Meine Ideen:
Ich habe angesetzt:

Sei die Untergruppe, die von erzeugt wird. Dann muss ein Teiler von sein. Also Nun kann ich ausschließen, da . Ist so ist und ich bin fertig, da U zyklisch ist.

Ist nun aber dann weiß ich nicht weiter..

Danke für die Hilfe!!

ps: Wie kann ich mir das direkte Produkt von Gruppen vorstellen?

Edit: LaTeX-Tag korrigiert. Gruß, Reksilat.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Hallo stevie,

Untersuche doch lieber die Ordnungen der Elemente. Da können auch nur auftreten.
Wenn es ein Element der Ordnung gibt, dann ist die Gruppe zyklisch.
Andernfalls haben alle von 1 verschiedenen Elemente die Ordnung . Damit wirst Du dann auch zwei verschiedene Untergruppen der Ordnung finden können.

Gruß
Reksilat
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Zitat:
Original von Reksilat

Untersuche doch lieber die Ordnungen der Elemente. Da können auch nur auftreten.


Wieso? Ist die Ordnung eines Elements immer ein Teiler der Ordnung der Gruppe? Sehe gerade, dass das ja aus Lagrange folgt. Da ich ja mit jedem Element eine Untergruppe mit der Ordnung des Elements erzeugen kann (zyklisch).

Zitat:
Wenn es eine Element der Ordnung p^2 gibt, dann ist die Gruppe zyklisch.


liegt das daran, dass die Untergruppe die von diesem Element erzeugt hat dann Ordnung hätte und diese ja dann zyklisch wäre. Und dann also zyklisch? So habe ich es ja oben gezeigt..

Zitat:
Andernfalls haben alle von 1 verschiedenen Elemente die Ordnung p.


Dann finde ich 2 Elemente, und mit denen ich Gruppen erzeugen, jeweils Ordnung p, deren Produkt dann wieder G gibt?


Es läuft im Beweis also darauf hinaus, dass ich sage, wenn es eine Element mit Ordnung gibt, so ist die Gruppe zyklisch und wenn nicht, dann gibt es von 1 verschiedene Elemente der Ordnung und dann ist G das Produkt der beiden Untergruppen, die durch diese Elemente erzeugt werden oder?

Fertig mit editieren sorry Hammer
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Ja, die ersten beiden Punkte stimmen.

Zitat:
Original von steviehawk
Dann finde ich 2 Elemente, und mit denen ich Gruppen erzeugen, jeweils Ordnung p, deren Produkt dann wieder G gibt?

Wie bitte? verwirrt

Zitat:
... und wenn nicht, dann gibt es von 1 verschiedene Elemente der Ordnung und dann ist G das Produkt der beiden Untergruppen, die durch diese Elemente erzeugt werden oder?

Ja, Du musst aber zwei von 1 verschiedene Elemente finden, für die auch gilt. (Dafür benötigst Du, dass alle Elemente die Ordnung p haben)
Dann ist
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Also dann mal angenommen, es gibt kein Element dessen Ordnung ist. Dann können die Elemente nur noch die Ordnung oder haben. Es ist aber das Einselement das einzige Element mit der Ordnung , sonst würde die Gruppe ja nur aus - Elementen bestehen. So dann gibt es also Elemente mit Ordnung Es muss auch mindestens 2 Stück geben, sonst hätte die Gruppe maximal Ordnung .

Seien also und zwei Elemente mit Ordnung p. z.Z.

Es ist ja: und



was hilft mir jetzt, dass alle Elemente aus G die Ordnung p (ausser die 1 natürlich) um zu begründen, dass die beiden Erzeugnisse nicht gleich sein können?

Es wäre ja dann: mit also ist das Produkt gleich G.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Zitat:
So dann gibt es also Elemente mit Ordnung

Du kannst sogar genau sagen, wie viele Elemente der Ordnung es gibt.
Dann nimmst Du Dir ein und schaust, wie viele solcher Elemente der Ordnung in liegen können.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Zitat:
Original von Reksilat
Du kannst sogar genau sagen, wie viele Elemente der Ordnung es gibt.


2 Stück oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
- Wie viele Elemente hat ?
- Wie viele haben die Ordnung ?
- Wie viele haben die Ordnung ?

Wie viele haben also Ordnung ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
hat Elemente

1 Element hat die Ordnung 1 (nur das 1 Element)

kein Element hat die Ordnung das schließe ich ja gerade aus, sonst wäre die Gruppe zyklisch

also haben Elemente die Ordnung
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Das ist richtig....
...aber welche Folgerung kannst Du nun daraus ziehen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Jedenfalls kann ich daraus schon mal ziehen, dass es für neben dem Einselement auch noch die Elemente und geben muss.

Wenn alle Elemente dann Ordnung haben, dann muss ja auch jedes Element in die Ordnung p haben, also z.B. oder so..

Ich weiß echt nicht, wie ich folgern soll, dass
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Nimm Dir ein Element der Ordnung und nenne es .
Wie viele Elemente der Ordnung p gibt es in ?
Wie viele Elemente der Ordnung p gibt es in ?
Woher solltest Du Dein Element also am besten wählen, damit ist?

Zitat:
...dass es für ...

ist prim und somit immer größer als 1!
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Wenn alle Elemente die Ordnung haben, dann muss es doch in p-1 Elemente mit Ordnung p geben oder?

Es gibt aber Elemente in mit Ordnung p

dann wähle ich wohl
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Genau!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Zitat:
Original von Reksilat
Ja, Du musst aber zwei von 1 verschiedene Elemente finden, für die auch gilt. (Dafür benötigst Du, dass alle Elemente die Ordnung p haben)
Dann ist

Naja, ich denke, man braucht hier schon noch, dass die beiden Untergruppen (oder wenigstens eine davon) auch Normalteiler von G sind, oder übersehe ich da was? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Aber da p prim und , ist abelsch, damit jede Untergruppe Normalteiler.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Aber da p prim und , ist abelsch, damit jede Untergruppe Normalteiler.

Ok, und anschließend wenden wir auch noch den Hauptsatz über endlich erzeugte abelschen Gruppen an und die Aufgabe wird vollends trivial... Big Laugh

Ne, im Ernst, ich hätte da jetzt schon eher an ganz elementare Überlegungen gedacht, wie sie dem bisherigen Verlauf des Threads angemessen sind, aber ich bin mir selber nicht sicher, ob es sie überhaupt gibt... Momentan fällt mir da nur die Klassengleichung für die Konjugiertheitsrelation ein, aber so wirklich elementar ist das nicht... Vielleicht war aber die Gruppe ohnehin als abelsch vorausgesetzt und der Threadersteller hat dies nur vergessen zu erwähnen...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Im Eröffnungspost schreibt Stevie:
Zitat:
Also ich habe schon gezeigt, dass die Gruppe abelsch ist.

Ich habe ihm das einfach geglaubt. Augenzwinkern

Gruß
Reksilat
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
@Reksilat

Ok, also war die Kommutativität der Gruppe hier generelle Voraussetzung, obwohl das wichtige Attribut "abelsch" im Threadtitel fehlt... Ich hatte das oben ohnehin schon vermutet, wenngleich ich den entsprechenden Passus im Eröffnungsposting leider überlesen habe... unglücklich
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Also dass es nun dieses g und h geben muss, dass ist mir klar geworden.. und dass ich mein aus wähle auch..

Mir ist aber nicht klar, wofür ich hier die Normalteiler Eigenschaft brauch?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe der Ordnung p^2 zyklisch oder direktes Produkt zweier Gruppen
Zitat:
Original von steviehawk
Also dass es nun dieses g und h geben muss, dass ist mir klar geworden.. und dass ich mein aus wähle auch..

Mir ist aber nicht klar, wofür ich hier die Normalteiler Eigenschaft brauch?

Die Normalteilereigenschaft von bzw. für ein aus ist hier sogar äquivalent zur Kommutativität der Gruppe, welche du angeblich(?) schon bewiesen hast. Denn ist die Gruppe G kommutativ sind sie klarerweise Normalteiler und sind sie umgekehrt Normalteiler, so gilt für den Kommutator sowohl



als auch



d.h, er liegt dann auch im Durchschnitt , womit g und h vertauschbar sind und daher G abelsch ist.
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