Logarithmusfunktionen

22.02.2007, 20:35

Rudi

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Logarithmusfunktionen

Hi !

Habe hier eine Anwendungs Aufgabe für Logarithmusfunktionen und komme nicht weiter.

Ich habe mal kurz die wichtigsten Sachen aus dem Text herausgeschrieben , die man braucht um die Aufgabe zu lösen.

-Patienten wird Radioaktives Jod gegeben (nicht wirklich wichtig)
-Die vorhandene Menge zerfällt so , das jeweils nach 8 Tagen nur noch die Hälfte der anfangs vorhandenen Menge übrig bleibt
-Nach wie vielen Tagen sind noch 10% der Anfangsdosis vorhanden?

Man soll eine Exponentialgleichung aufstellen und diese löse, nur ich bekomme keine hin ! traurig

traurig

Bitte mal ein Tipp !

MFG tOnNo

22.02.2007, 20:38

brain man

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Du benötigst eine Funktion der Form :

$\begin{eqnarray*} f(x)=a*b^{\lambda*x} \end{eqnarray*}$

Versuche erstmal die verschiedenen Variablen zu benennen.

22.02.2007, 20:41

Rudi

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Bist du sicher das die Gleichung richtig ist ?

Hm ... wüsste jetzt nicht wie ich die Variablen bennen sollte ?!

22.02.2007, 20:45

system-agent

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die gleichung ist schon richtig.
du weisst zum beispiel, dass bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ noch 100% vorhanden sind, also
$\begin{eqnarray*} 100=ab^{\lambda\cdot0} \end{eqnarray*}$
und nach 8 tagen die hälfte zerfallen ist:
$\begin{eqnarray*} 50=ab^{\lambda\cdot 8} \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 20:50

Rudi

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ok !

Dann muss links vom = die 10% stehen also

$\begin{eqnarray*} 0,1 = a \cdot b^{y \cdot x} \end{eqnarray*}$

Wobei X die Anzahl der Tage ist !

richtig ?

22.02.2007, 20:53

system-agent

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ja, aber die variablen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ musst du erst bestimmen (du kannst $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ setzen)

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22.02.2007, 20:56

Rudi

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a beschreibt den Zerfall ?
Und b , keine Ahnung ? wie isses denn richtig ?

was ne kagg Aufgabe !
verwirrt

verwirrt

22.02.2007, 21:01

system-agent

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du sollst den variablen keine namen geben, sondern deren zahlwert bestimmen....
was bedeutet denn nun die erste gleichung? was ist denn $\begin{eqnarray*} b^0 \end{eqnarray*}$ ?

22.02.2007, 21:07

Rudi

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$\begin{eqnarray*} a = 100%= 1 \end{eqnarray*}$ Als Zahlenwert und,
$\begin{eqnarray*} b^x = 0,5^{8 \cdot x} \end{eqnarray*}$ 0,5 Weil das immer die Hälfte wird und 8 die Zeitangabe ?

Also Gleichung wäre dann ,

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 0,5^{8 \cdot x} = 0,1 \end{eqnarray*}$

oder wie ?

22.02.2007, 21:10

system-agent

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nein, die zweite gleichung ist
$\begin{eqnarray*} 50=100b^{8x} \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 21:13

Rudi

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du meinst die Gleichung für das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 50=100b^{8x} \end{eqnarray*}$

Ja und wie geht das weiter ? verwirrt

verwirrt

22.02.2007, 21:15

system-agent

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joa, kannste auch so sehen...
dann lös mal nach dem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf

edit: sry, da kommt natürlich kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mehr in die gleichung, also nur $\begin{eqnarray*} b^8 \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 21:21

Rudi

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wäre das nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{lg0,5}{lgb} = 8 \end{eqnarray*}$

???

22.02.2007, 21:25

system-agent

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sry, schau noch mal meinen edit an, dann brauchste keinen log

22.02.2007, 21:31

Rudi

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Achso ok , das wäre dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt[8]{0,5} = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 0,92 \end{eqnarray*}$

und nun ?

22.02.2007, 21:34

system-agent

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lass die wurzel besser stehen....

na dann haste deine funktionsgleichung:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ab^x=100\cdot (0.5)^{\frac{x}{8}} \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 21:42

Rudi

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kk dann habe ich jetzt die Lösung !

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 0,5^{\frac{x}{8} } = 0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5^{\frac{x}{8} } = 0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{lg 0,1}l{lg0,5} \cdot 8 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} x = 26Tage \end{eqnarray*}$

so danke ! smile

smile

also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ war ja einfach herauszufinden , aber wie kamst du nochmal genau auf den Wert von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ also auf $\begin{eqnarray*} 50=100b^{8x} \end{eqnarray*}$

danke nochmals für alles !

mfg tonno

22.02.2007, 21:48

system-agent

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die 50 waren einfach die 50%, die 100 war das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ blieb ja stehen, das wollten wir ja herausfinden, die 8 im exponenten war dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und das zusätzliche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im exponenten war ein fehler von mir.

korrekt lautet es so:
$\begin{eqnarray*} 100=ab^0\Leftrightarrow a=100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 50=ab^8\Leftrightarrow 50=100b^8 \end{eqnarray*}$

24.02.2007, 11:50

didiput

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Ich sitze gerade am lernen für eine Arbeit und komme einfach nicht weiter... immer wenn ich denke, ja jetzt könnte es richtig sein, ist es doch falsch...

Folgende Aufgaben (und danach mein Lösungsansatz):
1:
$\begin{eqnarray*} 3*4^X = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(3) + log(4^X) = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(3) + X * log(4) =5 \end{eqnarray*}$

2:
$\begin{eqnarray*} 5^{(2X+1)} = 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2X+1)*log(5) =7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2X+1 =\frac{7} {log(5)} \end{eqnarray*}$

3:
Eine Bakterienkultur wächt alle 23 Tage um den Faktor 5:
Nach wie vielen Tagen ist ihre Masse auf den doppelten [dreifachen]Wert gestiegen?
Vor wie vielen Tagen war ihre Masse nur ein Zehntel so groß?

$\begin{eqnarray*} y = a*c^ \frac{x} {b} \end{eqnarray*}$ (Y ist dabei die Masse nach X Tagen)
$\begin{eqnarray*} y = a*5^ \frac{x} {23} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*y = a*5^ \frac{x} {23} \end{eqnarray*}$
??

24.02.2007, 11:57

Bjoern1982

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Hallo

Bei den ersten beiden Aufgaben vergisst du immer, dass du auch die rechte Seite der Gleichung logarithmieren musst.

Deine zweite Gleichung soll wohl so lauten:

$\begin{eqnarray*} 5^{2x+1}=7 \end{eqnarray*}$

Bei der dritten Aufgabe ist es der Anfangsbestand a, der nachher z.B. doppelt so gross ist....deshalb kannst du in deiner letzten Zeile statt 2*y dann 2*a schreiben und nach x auflösen.

Gruß Björn

24.02.2007, 12:09

didiput

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1:
$\begin{eqnarray*} 3*4^X = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(3) + log(4^X) =log(5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(3) + X * log(4) =log(5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X * log(4) =log(5) - log(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=\frac {log(5) - log(3)} {log(4)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=0,368 \end{eqnarray*}$

2:
$\begin{eqnarray*} 5^{(2X+1)} = 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2X+1)*log(5) =log(7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X =\frac{\frac{log(7)} {log(5)}-1} {2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X = 0,1045 \end{eqnarray*}$

Das sieht schon besser aus, oder? Wink

Wink

Big Laugh

Vielen, vielen Dank!! Die Tatsache hatte ich vollkommen vergessen... aber logisch bei einer "Gleich"ung... Danke!!

Die andere Aufgabe löse ich noch...

24.02.2007, 12:28

Bjoern1982

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Ja, prima....so ists perfekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

24.02.2007, 13:17

didiput

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Das mit dem Auflösen nach X ist immer so eine Sache verwirrt

verwirrt

Ist das so bisher richtig? Und wie verfahre ich weiter mit dem nach x - Auflösen?

$\begin{eqnarray*} 49^{2x} = 7^{3x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x*log(49) = (3x-1) * log(7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x*log(49) = 3x* log(7) - log(7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x*log(49) +log(7) = 3x* log(7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(7) = 3x* log(7) - 2x*log(49) \end{eqnarray*}$ [+ zum richtigen - geändert]

Kann man auf der rechten Seite jetzt nicht das in einer Klammer zusammen fassen und mal X machen? Aber wie oft mal X verwirrt

verwirrt

Sonst kriege ich die Aufgaben dieser Art jetzt immer gut gelöst smile

smile

24.02.2007, 13:28

derkoch

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Vorzeichenfehler in der letzten Zeile! Statt + mußt da ein - hin!

Aber hier führt einen Exponentenvergleich schneller zum Ziel!

24.02.2007, 13:37

didiput

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Ja stimmt, ein Minus natürlich.

Leider hatten wir Exponentenvergleich noch nicht und kann mit dem Begriff jetzt auch nichts anfangen, im Unterricht haben wir die Gleichungen immer lang und breit nach X aufgelöst...

und jetzt stehe gerade auf dem Schlauch was das Auflösen nach X angeht...

24.02.2007, 14:44

derkoch

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Zitat:

Original von didiput

und jetzt stehe gerade auf dem Schlauch was das Auflösen nach X angeht...

Ausklammern!

24.02.2007, 15:29

didiput

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$\begin{eqnarray*} log(7) = 3x* log(7) - 2x*log(49) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(7) = x* (3* log(7) - 2*log(49)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{log(7)}{ (3* log(7) - 2*log(49))} = x \end{eqnarray*}$

erscheint mir nicht sehr richtig verwirrt

verwirrt

unglücklich

24.02.2007, 15:32

derkoch

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Warum sollte das nicht richtig sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2007, 15:36

didiput

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$\begin{eqnarray*} X = -1 \end{eqnarray*}$

Och, weiß ich auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke

Wink

smile

24.02.2007, 15:41

derkoch

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Ist richtig! Hier die Aufgabe mit Exponentenvergleich:

$\begin{eqnarray*} 49^{2x}= 7^{3x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (7^2)^{2x}=7^{3x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7^{4x}=7^{3x-1} \end{eqnarray*}$

Da die Basen gleich sind, müssen die Exponenten auch gleich sein!

$\begin{eqnarray*} 4x=3x-1 \end{eqnarray*}$

--->

$\begin{eqnarray*} x= -1 \end{eqnarray*}$

24.02.2007, 16:08

didiput

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ja doch, nachvollziehbar... und viel einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wurde nach ein paar weiteren Übungen gefragt, tada:

$\begin{eqnarray*} 9^{x+2} = 7*3^{4x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3*2^x = 5*7 ^x \end{eqnarray*}$

hab dann auch die lösungen falls nötig...

Danke nochmal für die Hilfe, ich komme sicher nochmal darauf zurück... Die Arbeit wird erst am Dienstag geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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