Axiome von Kolmogorov

25.04.2013, 19:18

DerUltraLord

Axiome von Kolmogorov

Hallo Leute hab hier ein Problem mit einer Aufgabe,
Es sei $\begin{eqnarray*} A\cup B\cup C = omega \end{eqnarray*}$
(Es handelt sich um Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen)

Zeigen sie dass

a) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = 1/2; P(C) = 1/2; \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} P(A) = 1/2;P(B) = 1/2;P(C) = 1/2; \end{eqnarray*}$

dies erfüllt.

Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich beweisen dass das Ergebnis >= 0 und <=1 ist.

Ich versuch mir die Aufgaben immer in einem Mengendiagramm vorzustellen.

[attach]29761[/attach]

a) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A\cup B) + P(C) - P(B\cap C) - P(B\cap A) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap C) - P(A\cap B) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz so richtig? Weil in meinen Lösungen steht nur, dass a) und b) dies erfüllt. Aber ich weiß nicht wirklich warum smile

Danke schon mal im vorraus

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

26.04.2013, 10:24

Math1986

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RE: Axiome von Kolmogorov
Ich verstehe die Fragestellung nicht, da fehlen noch Informationen, um den Wahrscheinlichkeitsraum eindeutig bzu bestimmen.

Poste mal die komplette Aufgabe.

26.04.2013, 20:35

DerUltraLord

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Danke schonmal smile

26.04.2013, 21:29

HAL 9000

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In den Fällen, wo es geht kannst du das konstruktiv durch die Angabe eines Beispiels nachweisen. Also z.B. in b)

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ Laplaceraum. d.h. mit $\begin{eqnarray*} P(\{1\})=P(\{2\})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und dann

$\begin{eqnarray*} A=\{1\},B=\emptyset,C=\{2\} \end{eqnarray*}$ .

Der gleiche W-Raum kann auch zur Konstruktion eines Beispiels für c) genutzt werden.

--------------------

In den Fällen, wo es nicht geht, musst du einen Widerspruch zu den Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes aufzeigen:

a) $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)>P(A) \end{eqnarray*}$ widerpricht $\begin{eqnarray*} A\cap B \subset A \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} 1 = P(\Omega) = P(A\cup B\cup C) \leq P(A)+P(B)+P(C) < 1 \end{eqnarray*}$

29.04.2013, 20:07

DerUltraLord

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Vielen dank. So wie ich das jetzt verstanden habe könnte ich bei
c) $\begin{eqnarray*} A=\{1\}; B = \{2\}; C=\emptyset \end{eqnarray*}$

Alle Teilmengen vereinigt ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2\} \end{eqnarray*}$

29.04.2013, 20:54

Math1986

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Zitat:

Original von DerUltraLord
Vielen dank. So wie ich das jetzt verstanden habe könnte ich bei
c) $\begin{eqnarray*} A=\{1\}; B = \{2\}; C=\emptyset \end{eqnarray*}$

Alle Teilmengen vereinigt ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2\} \end{eqnarray*}$

Nein, es muss $\begin{eqnarray*} P(\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

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