Lösen einer quadratischen Gleichung mit Wurzeln

26.04.2013, 07:34	p1n0	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen einer quadratischen Gleichung mit Wurzeln Meine Frage: Hallo Leute, folgende quadratische Gleichung ist gegeben: x^{2} + (3-\sqrt{3})x - \sqrt{27} = 0 In der Theorie weiß ich, wie ich vorgehen muss. In der Praxis weiß nich jedoch nicht, wie der Weg zu folgender Musterlösung aussieht: x_{1} = \sqrt{3} , x_{2} = -3 Meine Ideen: Ich fange also an mit der p-q-Formel zu arbeiten: - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{(3-\sqrt{3})^2}{4} + \sqrt{27} } Ab hier komme ich nicht weiter :/ Das einzige was mir noch einfällt, ist die 2. Binomische Formel unter dem Bruchstrich anzuwenden: - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3 }{4} + \sqrt{27} } Ich möchte gerne möglichst ohne Taschenrechner auskommen, daher meine Bitte an euch: Wie ist der Weg bishin zur Musterlösung? Bitte um Tipps/Ideen
26.04.2013, 07:38	p1n0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen einer quadratischen Gleichung mit Wurzeln So, jetzt registriert und mit den richtigen tags: Hallo Leute, folgende quadratische Gleichung ist gegeben: $\begin{eqnarray} x^{2} + (3-\sqrt{3})x - \sqrt{27} = 0 \end{eqnarray}$ In der Theorie weiß ich, wie ich vorgehen muss. In der Praxis weiß nich jedoch nicht, wie der Weg zu folgender Musterlösung aussieht: $\begin{eqnarray} x_{1} = \sqrt{3} , x_{2} = -3 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich fange also an mit der p-q-Formel zu arbeiten: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{(3-\sqrt{3})^2}{4} + \sqrt{27} } \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich nicht weiter :/ Das einzige was mir noch einfällt, ist die 2. Binomische Formel im Zähler anzuwenden: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3 }{4} + \sqrt{27} } \end{eqnarray}$ Ich möchte gerne möglichst ohne Taschenrechner auskommen, daher meine Bitte an euch: Wie ist der Weg bishin zur Musterlösung? Bitte um Tipps/Ideen smile
26.04.2013, 08:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe mal $\begin{eqnarray} \sqrt{27} \end{eqnarray}$ als multiplikation von zwei Wurzeln und sorge dafür, dass unter einer Wurzel eine Quadratzahl steht. Dann ziehe alles auf einen Bruchstrich und schau dich nach Binomischen Formeln um.
26.04.2013, 21:28	p1n0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm .. Irgendwas mach ich falsch. Muss vorher zu meiner Verteidigung sagen, dass mich Mathe nie interessiert hat und ich darüber hinaus im Abi einen Lehrer hatte, den es nicht interessiert hat, was wir machen. Deswegen fehlen mir viele Grundkenntnisse, die ich mir jedoch gerade in jeder freien Minute versuche anzueignen weil ich - so paradox das klingen mag - Physik studieren will. Sollte ich bis zur Anmeldung jedoch merken, dass es keinen Sinn hat, weil mir zu viel Stoff fehlt, dann lasse ich es. Und gerade zweifel ich echt, weil ihr solche Aufgaben sicherlich im Schlaf könnt und ich einfach nicht drauf komme Also: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3 }{4} + \sqrt{27} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{27} \end{eqnarray}$ umformen: $\begin{eqnarray} \sqrt{27} = \sqrt{3^2} \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ eingesetzt: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3 }{4} +3 \sqrt{3} } \end{eqnarray}$ Alles auf einen Bruchstrich: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3+4(3 \sqrt{3}) }{4} } \end{eqnarray}$ Klammer auflösen: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+3+12 \sqrt{3}) }{4} } \end{eqnarray}$ Umformen: $\begin{eqnarray} - \frac{3-\sqrt{3} }{2} \pm \sqrt{\frac{12+6\sqrt{3} }{4} } \end{eqnarray}$ Und jetzt komme ich nicht weiter.
27.04.2013, 04:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast sogesehen einen Schritt zuweit umgeformt. Da erkennt man die binomische Formel nicht mehr so gut. $\begin{eqnarray} -\frac{3-\sqrt{3}}{2}\pm\sqrt{\frac{9-6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3}{4}}<br /> <br /> =-\frac{3-\sqrt{3}}{2}\pm\sqrt{\frac{9+6\sqrt{3}+3}{4}} \end{eqnarray}$ Jetzt gucke dir mal den Zähler deines Bruches an. Zu beginn hast du die zweite binomische Formel angewandt um aus: $\begin{eqnarray} (3-\sqrt{3})^2=9-6\sqrt{3}+3 \end{eqnarray}$ zu machen. Jetzt haben wir $\begin{eqnarray} 9+6\sqrt{3}+3 \end{eqnarray}$ und dies ist der obigen Form ziemlich ähnlich. Auf welche binomische Formel läuft das hinaus?
27.04.2013, 13:17	p1n0	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. also haben wir $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\frac{9+6\sqrt{3}+3}{4} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{\frac{(3+\sqrt{3})^2 }{4} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pm \frac{\sqrt{(3+\sqrt{3})^2}}{\sqrt{4}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pm \frac{(3+\sqrt{3})}{2} \end{eqnarray}$ In den Rest der Formel einsetzen: $\begin{eqnarray} x1/2 = -\frac{(3-\sqrt{3}) }{2} \pm \frac{(3+\sqrt{3})}{2} \end{eqnarray}$ auf einen Bruchstrich: $\begin{eqnarray} x1 = \frac{-3+\sqrt{3} +(3+\sqrt{3} )}{2} = \frac{2\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x2 = \frac{-3+\sqrt{3} -(3-\sqrt{3} )}{2} = \frac{-6 }{2} =-3 \end{eqnarray}$ So komme ich auf die Lösung. Einsetzen hats bestätigt. Danke für die Hilfe
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27.04.2013, 14:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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