Kompakte Mengen

26.04.2013, 08:31

Alexandra Ardanex

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Kompakte Mengen

Meine Frage:
Moin together. Ich hab eine Aufgabe zu kompakten Mengen und zwar soll ich untersuchen, welche der folgenden Mengen kompakt sind:

$\begin{eqnarray*} a) ]0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \mathbb Q \cap [0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) {(x, y) \in \mathbb R^2 | x\geq 0, y\geq 0, x+1\leq 1}. \end{eqnarray*}$
Geben Sie für die nicht-kompakten Mengen eine offene Überdeckung an, die keine endliche Teilüberdeckung enthält.

Meine Ideen:
Also eine Teilmenge der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen (oder allgemeiner des euklidischen Raumes $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ kann man sich noch etwas darunter vorstellen, das halboffene Intervall von $\begin{eqnarray*} ]0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Bei b) ist es der Schnitt der ganzen Zahlen mit dem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ kann ich mir darunter nicht so viel vorstellen, nunja bei den ersten beiden weiß ich zwar was gemeint ist, aber ich weiß nicht wie ich ansetzen soll. Bin für jede Hilfe sehr dankbar.

Mfg Alex

27.04.2013, 08:23

Alexandra Ardanex

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RE: Kompakte Mengen
Nun unglücklich

unglücklich

ich habe mir mal einfache Beispiele für kompakte Mengen angeguckt. Z.B. kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wie das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ (bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ). Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right[\subset \mathbb R . \end{eqnarray*}$

Und was ist mit halboffenen Intervallen bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ haben wir ja einen solchen Fall? Jedenfalls ist der Satz von Heine-Borel nützlich wie ich herausgefunden habe. Der besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt und abgeschlossen.
Jede offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Das ist ein dutzend an Begriffen und ich bin mir nicht bei allen mächtig. Fazit ist jedoch, dass eine kompakte Menge abgeschlossen und beschränkt sein muss.

27.04.2013, 08:35

watcher

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Guten Morgen,

also: testen ob die Mengen abgeschlossen und beschränkt sind.
Wenn diese Begriffe nicht bekannt: Skript raussuchen und nachschauen.

Bei der c) kann der Vorstellung eine Zeichnung helfen.

27.04.2013, 08:56

Alexandra Ardanex

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Allgemein versteht man unter Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Verknüpfung, dass die Verknüpfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder ein Element der Menge ergibt.
Eigentlich eine triviale Sache. Die Definition macht es aber dann für mich doch nicht trivial.

Diese lautet ja: Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dann nennt man $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, falls gilt:

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass jeder Punkt $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x - y\| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , ebenfalls außerhalb $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt. Zu Beschränktheit gibt es ja noch gleichmäßige Beschränktheit, punktweise Beschränktheit. Aber gebraucht wird doch die allgemeine Beschränktheit, also dass Infimum und Supremum einer Menge existieren, somit sind sie dann beschränkt, oder? Aber wie ich das auf die Aufgabe bezogen testen soll - schwer verwirrt

verwirrt

27.04.2013, 08:57

McClane

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Hallo Alexandra,

Zum Teil b siehe dir mal meinen Beitrag von gestern an (Kompakte Menge). Hatte da selber meine Probleme.

Zur a:

Da es sich um ein halboffenes Intervall handelt, geht die Vermutung in Richtung einer nicht kompakten Menge. Um dies nachzuweisen, wäre es am besten, eine offene Überdeckung anzugeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält. Dieses ist ja auch Bestandteil der Aufgabe, sollte es sich um keine kompakte Menge handlen.

Wie könnte den eine offene Überdeckung für diese Menge lauten? Wenn du diese hast, kann man schnell sehen, dass es keine endliche Teilüberdeckung gibt.

Zur c:

Hier wird, wie Watcher schon erwähnt hat, eine Zeichnung der Menge helfen.

27.04.2013, 09:12

watcher

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Kompaktheit ist eine topologische Eigenschaft.
Abgeschlossenheit meint hier natürlich auch die topologische Abgeschlossenheit.
Wo siehst du hier eine Gruppe?

Da steht nur Beschränktheit nichts anderes.
Nimm deine erste Definition. Anschaulich heißt das nur, dass man um die Menge einen Kreis zeichnen kann.

Außerdem: Gleichmäßige noch punktweise beschränkt sind für Funktionenfolgen. Sowas liegt hier nicht vor.
Oder verwechselt du Beschränktheit mit Konvergenz?

P.S. Bitte vermeide das Wort trivial. Es sagt nicht sonderlich viel aus. Wenn es im Zusammenhang mit falschen Aussagen verwendet wird erzeugt es den Eindruck einer pseudo-mathematischen Sprache.
Die meisten Mathematiker verwenden trivial nur sehr spärlich.

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27.04.2013, 09:25

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von watcher
Kompaktheit ist eine topologische Eigenschaft.
Abgeschlossenheit meint hier natürlich auch die topologische Abgeschlossenheit.
Wo siehst du hier eine Gruppe?

Da steht nur Beschränktheit nichts anderes.
Nimm deine erste Definition. Anschaulich heißt das nur, dass man um die Menge einen Kreis zeichnen kann.

Oder verwechselt du Beschränktheit mit Konvergenz?

Nene Beschränktheit und Konvergenz sind mir schon bekannt. Eine Gruppe gibt es hier nicht. Meine erste Definition also diese:

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass jeder Punkt $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x - y\| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , ebenfalls außerhalb $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Original von watcher
P.S. Bitte vermeide das Wort trivial. Es sagt nicht sonderlich viel aus. Wenn es im Zusammenhang mit falschen Aussagen verwendet wird erzeugt es den Eindruck einer pseudo-mathematischen Sprache.
Die meisten Mathematiker verwenden trivial nur sehr spärlich.

Oki werde ich machen.

28.04.2013, 09:09

Alexandra Ardanex

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RE: Kompakte Mengen
Die Teilaufgabe $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ wurde in einem anderen Thread bearbeitet von Chenetzer und McClane. Somit sind noch Teilaufgabe $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ fällig.
$\begin{eqnarray*} b) \mathbb Q \cap [0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die ganzen Zahlen als Durchschnitt des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0, 1] \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Meine erste Vermutung ist, dass die Menge kompakt ist?

28.04.2013, 09:13

Che Netzer

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RE: Kompakte Mengen
Genau genommen haben wir Teil b) bearbeitet. Teil a) ist dabei aber auch mal erwähnt worden.
Und heißt es in c) eigentlich wirklich $\begin{eqnarray*} x+1\leq1 \end{eqnarray*}$ oder doch eher $\begin{eqnarray*} x+y\leq1 \end{eqnarray*}$ ?

28.04.2013, 09:20

Un-aachen

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RE: Kompakte Mengen

Zitat:

Original von Che Netzer
Und heißt es in c) eigentlich doch eher $\begin{eqnarray*} x+y\leq1 \end{eqnarray*}$ ?

ja

28.04.2013, 09:55

Un-aachen

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RE: Kompakte Mengen
also die ich habe die a , ob ihr sie jetzt habt oder nicht egal^^:

Die Menge ist nicht abgeschlossen.
Damit ist Sie nach Heine-Borel nicht kompakt.
Die Überdeckung muss gegen ”abgeschlossen” oder gegen ”beschränkt”
verstoßen.
Die Menge ]0;1] ist beschränkt, also ersteres.
Nicht abgeschlossen widerspricht dem Folgenkriterium.
Welche Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\in ]0;1] \end{eqnarray*}$ konvergieren nicht gegen ein $\begin{eqnarray*} a\in ]0;1] \end{eqnarray*}$ ?
Zum Beispiel (an)n mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q_i)_i(_\in N_1) \end{eqnarray*}$ möglich:

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Q_i)=]\frac{1}{j},2[ \end{eqnarray*}$
Jetzt behauptet man, dass diese Überdeckung keine endliche Teilfolge besitzt.

für jedes $\begin{eqnarray*} x\in ]0;1] \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} Q_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in Q_i. \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} (Q_i)_i\in N_1 \end{eqnarray*}$
eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} ]0;1] \end{eqnarray*}$ mit offenen Mengen.

mal angenommen es gibt ein endliches $\begin{eqnarray*} j\subseteq N_1 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} (Q_j)j\in j \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung
von $\begin{eqnarray*} ]0;1] \end{eqnarray*}$ ist.

Da j endlich ist gibt es ein maximum $\begin{eqnarray*} m\in j \end{eqnarray*}$
Man wählt x=1/m+1
damit gilt für jedes $\begin{eqnarray*} n\in j \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist.

insgesamt ist $\begin{eqnarray*} x\notin]1/n,2[ \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\in j \end{eqnarray*}$
und damit nicht in $\begin{eqnarray*} \cup _i\in_ j Q_j \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zur Annahme...

28.04.2013, 10:13

Un-aachen

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RE: Kompakte Mengen
die b):
die Loesung muss etwas mit irrationalen Zahlen zu tun haben,
denn der Grund, warum |On [0,1] nicht kompakt ist,
ist doch, dass die Menge nicht abgeschlossen ist
und die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] ist genau,
was |On [0,1] zum Abschluss fehlt.

$\begin{eqnarray*} O_n = ]-\infty ,a-1/n[ \end{eqnarray*}$ "vereinigt" $\begin{eqnarray*} ]a+1/n,\infty[ \end{eqnarray*}$ mit a irrational und fest in
[0,1] z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Somit wird keine rationale Zahl ausgelassen und bei jeder endlichen Auswahl
von O_n's bleibt einem um a ein Intervall ,dass rationale Zahlen enthält also
keine
Überdeckung darstellt.

....hmmm obs stimmt keine Ahnung....

28.04.2013, 10:16

Che Netzer

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RE: Kompakte Mengen
Soll |On etwa für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\cap \end{eqnarray*}$ stehen? geschockt

geschockt

Aber ja, die Idee zu dieser Überdeckung ist die richtige.

28.04.2013, 12:13

Un-aachen

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RE: Kompakte Mengen
ja okay....

aber zu c habe ich auch keine Idee... traurig

traurig

29.04.2013, 17:16

Un-aachen

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RE: Kompakte Mengen
koennte sich vielleicht jemand die c mal angucken...
das ist die einzige Aufgabe die mir noch fehlt -.-

29.04.2013, 19:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von McClane
Zur c:

Hier wird, wie Watcher schon erwähnt hat, eine Zeichnung der Menge helfen.

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