Zusammenhängender metrischer Raum - Seite 2

28.04.2013, 16:21

RavenOnJ

@Lurchi

Jetzt hast du ja bereits den Beweis im Wesentlichen gepostet. Das ist eigentlich Aufgabe des Fragestellers. Wäre also gut, wenn du das wieder löschst.

28.04.2013, 16:24

Lurchi_der_Lurch

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Schon passiert.

Sorry, ich war zu voreilig.

28.04.2013, 16:29

Der Ehrgeizige

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Also bei mir im Skript steht. Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Wichtige Beispiele zusammenhängender Räume sind die Intervalle und Quader:
BSP: Quader $\begin{eqnarray*} Q \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sind zusammenhängend; dabei darf $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, offen, halboffen und auch uneigentlich sein.

28.04.2013, 16:32

RavenOnJ

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OK, das ist etwas formaler die Definition, die ich gegeben habe.

28.04.2013, 16:37

Der Ehrgeizige

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Hm also muss ich die vier Eigenschaften zeigen?

28.04.2013, 16:57

RavenOnJ

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Jetzt nimm mal das von Lurchi gepostete und konstruiere daraus einen Widerspruch. Beachte dabei, dass in einem Raum mit der diskreten Metrik das Komplement einer offenen Menge ebenfalls eine offene Menge ist.

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch

Betrachte

1.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}\subset Y \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}^{C}=Y\setminus\left\{v\right\} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}\right)=\left\{x\in X : f(x)=v\right\} \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}^{C}\right)=\left\{x\in X : f(x)\in Y\setminus\left\{v\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .

28.04.2013, 17:07

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Dazu jeweils ein Widerspruch? verwirrt

28.04.2013, 18:17

Lurchi_der_Lurch

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige

Dazu jeweils ein Widerspruch?

Nein, du musst EINEN Widerspruch konstruieren und dazu brauchst Du die Punkte 1.) bis 4.).

Du willst einen Widerspruch dazu konstruieren, dass X zusammenhängend ist.

Mit den Punkten 1.) bis 4.) kannst Du zwei disjunkte offene Teilmengen von X konstruieren, die beide nicht leer sind. Das ist dann der gewünschte Widerspruch.

(Ich hatte es darüber gemacht, dass X und die leere Menge die enzigen Mengen sind, die zugleich offen und abgeschlossen sind, aber das ist zu dem obigen Vorgehen äquvalent. Halte Dich also ruhig an Dein Skript.)

29.04.2013, 08:22

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
Du willst einen Widerspruch dazu konstruieren, dass X zusammenhängend ist.

Mit den Punkten 1.) bis 4.) kannst Du zwei disjunkte offene Teilmengen von X konstruieren, die beide nicht leer sind. Das ist dann der gewünschte Widerspruch.

(Ich hatte es darüber gemacht, dass X und die leere Menge die enzigen Mengen sind, die zugleich offen und abgeschlossen sind, aber das ist zu dem obigen Vorgehen äquvalent. Halte Dich also ruhig an Dein Skript.)

Ich soll mittels meines Skriptes

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Also bei mir im Skript steht. Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

und der 1) - 4) aufgelisteten Punkte einen Widerspruch konstruieren.

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
1.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}\subset Y \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}^{C}=Y\setminus\left\{v\right\} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}\right)=\left\{x\in X : f(x)=v\right\} \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}^{C}\right)=\left\{x\in X : f(x)\in Y\setminus\left\{v\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Also da stehe ich vor einer echten Herkulesaufgabe verwirrt

Mit den Punkten 1.) bis 4.) kann ich zwei disjunkte offene Teilmengen von X konstruieren, die beide nicht leer sind. Das ist der gewünschte Widerspruch? Wie kann ich das anfangen zu konstruieren?

29.04.2013, 08:38

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Mit den Punkten 1.) bis 4.) kann ich zwei disjunkte offene Teilmengen von X konstruieren, die beide nicht leer sind.

Wer sagt, dass beide nicht leer sind? Woraus schließt du das? Guck dir die Definition eines zusammenhängenden metrischen Raums scharf an. Vielleicht kommst du dann darauf, wie diese konstruierten offenen Mengen in X aussehen müssen.

29.04.2013, 08:56

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch

Mit den Punkten 1.) bis 4.) kannst Du zwei disjunkte offene Teilmengen von X konstruieren, die beide nicht leer sind. Das ist dann der gewünschte Widerspruch.

(Ich hatte es darüber gemacht, dass X und die leere Menge die enzigen Mengen sind, die zugleich offen und abgeschlossen sind, aber das ist zu dem obigen Vorgehen äquvalent. Halte Dich also ruhig an Dein Skript.)

Wer es gesagt hat. Lurchi_der_Lurch hat es gesagt.

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} B\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Aber aufgrund der Definition ist es doch auch so.

29.04.2013, 09:01

RavenOnJ

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Du musst mal genauer lesen, da steht:

Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} B\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Dein Raum X soll zusammenhängend sein, wie kann man ihn also gemäß dieser Definition in zwei offene Mengen zerlegen? Es gibt dafür nur eine Möglichkeit.

29.04.2013, 09:05

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Du musst mal genauer lesen, da steht:

Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} B\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Du hast Recht. Sry mein Fehler.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Dein Raum X soll zusammenhängend sein, wie kann man ihn also gemäß dieser Definition in zwei offene Mengen zerlegen? Es gibt dafür nur eine Möglichkeit.

Es geht nicht.

29.04.2013, 09:29

RavenOnJ

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Es geht schon. Ich glaube, du hast nur eine eingeschränkte Vorstellung vom Begriff der offenen Mengen. Der Begriff stammt aus der Topologie. Die offenen Mengen sind die Mengen, die zu einer Topologie gehören. Es gehören in jeder Topologie auf einem Raum X immer zwei bestimmte Mengen dazu. Welche? Wenn du das jetzt nicht weißt, dann google mal den Begriff "offene Mengen" und/oder "Topologie".

29.04.2013, 10:03

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Es gehören in jeder Topologie auf einem Raum X immer zwei bestimmte Mengen dazu. Welche?

Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge nennt man abgeschlossene Menge. Diese Mengen sind dadurch charakterisiert, dass sie alle ihre Häufungspunkte enthalten.

29.04.2013, 10:08

RavenOnJ

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Lass das mal mit "anschaulich". es gibt Topologien, die alles andere als anschaulich sind. Meine Frage hast du mir mit diesem Zitat nicht beantwortet. Welche Teilmengen in einem Raum X gehören immer zu den offenen Mengen, egal welche Topologie auf X benutzt wird?

29.04.2013, 10:14

Der Ehrgeizige

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Die abgeschlossene Menge.

29.04.2013, 10:51

RavenOnJ

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Worauf soll das jetzt eine Antwort sein?

29.04.2013, 10:58

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Welche Teilmengen in einem Raum X gehören immer zu den offenen Mengen, egal welche Topologie auf X benutzt wird?

Die abgeschlossene Menge.

29.04.2013, 11:00

RavenOnJ

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Die abgeschlossenen Mengen sind die Komplemente zu den offenen Mengen.

29.04.2013, 11:12

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
Ahso okay verwirrt

Also der Faden zur Lösung der Aufgabe b) ist in weite Ferne gerückt. Mir ist jedoch wichtig, dass ich irgendwie diese Aufgabe löse. Also fokusieren wir uns mal auf das Notwendigste und Wichtigste. Die Aufgabenstellung nochmal:
$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} (Y, d_y) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum mit der diskreten Metrik $\begin{eqnarray*} d_y(x, y):=\begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \neq y \end{cases} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x, y \in Y. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Beweisen, dass es sich um einen metrischen Raum handelt - muss ich nicht. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

So was brauche ich an Vorwissen und was brauche ich um diese Aufgabe endlich zu lösen.

29.04.2013, 11:21

ollie3

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
hallo,
jetzt misch ich mich hier mal wieder ein. Big Laugh

Gehen wir die sache mal anders an:
Wenn man einen äquivalenzbeweis machen will, muss man ja die hin- und die
rückrichtung beweisen.
Die rückrichtung ist ja hier sehr einfach: wenn eine abbildung f konstant
ist, muss sie natürlich auch stetig sein, nicht wahr?
Jetzt fehlt nur noch die hinrichtung, und die macht man mit einem widerspruchsbeweis. Soweit klar?
gruss ollie3

29.04.2013, 11:41

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
okay Freude

29.04.2013, 11:51

ollie3

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
ja,
und jetzt kommt das theater, was dir raven und lurchi gestern erklären wollten.
Man nimmt an, dass f stetig, aber nicht konstant ist und führt das zu einem
widerspruch. (sorry, ich habe im moment keine zeit mehr, wir machen später
weiter oder es übernimmt wieder einer)
gruss ollie3

29.04.2013, 11:52

RavenOnJ

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum

Zitat:

Original von ollie3

Jetzt fehlt nur noch die hinrichtung, und die macht man mit einem widerspruchsbeweis.

Tja, soweit waren wir schon lange vorher. Der Fragesteller begreift nur offenbar die Hinführung zu dem Widerspruch nicht, obwohl er in kleinen Schritten erfolgte.

29.04.2013, 12:28

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum

Zitat:

Original von RavenOnJ
Tja, soweit waren wir schon lange vorher. Der Fragesteller begreift nur offenbar die Hinführung zu dem Widerspruch nicht, obwohl er in kleinen Schritten erfolgte.

Ja eben. Und ich würde es gerne nachvollziehen, kriege das aber nicht auf die Reihe, wieso auch immer - weil ich dumm bin. Aber naja was solls.

29.04.2013, 12:59

RavenOnJ

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Sagen wir mal so, du scheinst dich nicht wirklich darum zu bemühen, die Puzzleteile zusammen zu setzen.

Gehen wir also den von ollie vorgeschlagenen Weg und nehmen an, die Funktion sei nicht konstant (obwohl ich diesen Weg für unnötig kompliziert halte). Man betrachte den Wertebereich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Es gebe einen Wert $\begin{eqnarray*} a\in W \end{eqnarray*}$ und es gebe noch weitere Werte ungleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ im Wertebereich. Man kann also den gesamten Wertebereich in disjunkte Teilmengen $\begin{eqnarray*} W\setminus\{a\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ teilen. Wie schon weiter oben erwähnt wurde sind in einem Raum mit diskreter Metrik alle Teilmengen offen.

Wie dir vielleicht bekannt ist, ist eine Funktion dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen ebenfalls offen sind, d.h. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) = U, V\text{ offen in } Y\Rightarrow U\text{ offen in } X \end{eqnarray*}$ . Du hast also zwei offene Mengen in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} W\setminus\{a\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ , deren Urbilder beide offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein müssen, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist. Außerdem ist per definitionem $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W) = X \end{eqnarray*}$ . Es gilt nun:

$\begin{eqnarray*} X = f^{-1}(W) = f^{-1}((W\setminus\{a\})\cup\{a\}) = f^{-1}(W\setminus\{a\}) \cup f^{-1}(\{a\}) \end{eqnarray*}$ .

Nun kommt die Voraussetzung rein, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammenhängend sein soll. Daraus kann man für die letzte Gleichungskette eine Schlussfolgerung ziehen.

29.04.2013, 13:21

ollie3

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hallo,
@ravenon: genauso hatte ich mir das gedacht. Freude

gruss ollie3

29.04.2013, 13:39

RavenOnJ

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@ollie
Ich ziehe aber einen anderen Weg vor: Ich würde $\begin{eqnarray*} \{a\},a\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\setminus \{a\} \end{eqnarray*}$ betrachten, die ja beide offene Mengen sind, und dann die Urbilder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{a\}) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y\setminus \{a\}) \end{eqnarray*}$ , die beide in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen und disjunkt sind, außerdem in der Vereinigung $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben müssen. Daraus folgt mit dem Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Folgerung, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der einzige Wert des Wertebereichs sein muss, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also konstant ist.

29.04.2013, 13:43

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Nun kommt die Voraussetzung rein, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammenhängend sein soll. Daraus kann man für die letzte Gleichungskette eine Schlussfolgerung ziehen.

Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Nur wie baue ich das ein bzw. wie kann man für die letzte Gleichungskette eine Schlussfolgerung ziehen verwirrt

PS: Leute es ist mir eig egal was für ein Weg es ist, ich will einfach die Aufgabe lösen, da ich erhebliche Verständnisprobleme habe, wäre mir lieb wenn ich einen Weg versuchen würde, es ist schon schwer genug einen zu verstehen für mich, das herumspringe tut mir nicht so gut unglücklich

29.04.2013, 13:44

Lurchi_der_Lurch

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Zitat:

Original von RavenOnJ
@ollie
Ich ziehe aber einen anderen Weg vor: [...]

Den hatte ich auch im Sinn.

:-)

Edit: @Der_Ehrgeizige

Überleg doch mal, statt immer wieder die gleichen Definitionen zu posten und was widerzugeben, was andere schreiben.
Du hast da doch jetzt eine disjunkte Vereinigung stehen, die identisch mit X ist. Und X ist zusammenhängend. Was folgt also für eine der beiden Mengen, die vereinigt wurden? Und wieso folgt dann daraus die Konstantheit von f?

29.04.2013, 13:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Der Ehrgeizige

Zitat:

Ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt zusammenhängend, wenn es keine offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \subset X \end{eqnarray*}$ gibt mit folgenden Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} X=A \cup B \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A \cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} {\color{red}B}\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Nur wie baue ich das ein bzw. wie kann man für die letzte Gleichungskette eine Schlussfolgerung ziehen verwirrt

Wenn es heißt, es gibt keine offenen Mengen, für die die genannten Bedingungen gelten, dann bedeutet das, es gibt keine offenen Mengen, die beide nicht-leer sind. Es können natürlich nicht beide leer sein, da ihre Vereingung ja $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben soll. Aber eine der beiden muss die leere Menge sein. Das ist der springende Punkt! Damit sind in einem zusammenhängenden Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und die leere Menge die einzigen offenen Teilmengen, die beide in der Vereingung wiederum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben. [Damit sind sie auch die einzigen Teilmengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, da das Komplement einer offenen Menge abgeschlossen ist. Das nur am Rande.]

Wenn du also in der Gleichungskette stehen hast, dass die Vereinigung von zwei offenen Teilmengen gerade den Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben muss, was bedeutet das dann für die beiden Teilmengen?

29.04.2013, 13:59

RavenOnJ

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@Lurchi
Das war mir klar, dass du genau das im Sinn hattest, man musste ja nur den von dir angezeichneten Weg weiter gehen. Augenzwinkern

29.04.2013, 14:46

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Wenn du also in der Gleichungskette stehen hast, dass die Vereinigung von zwei offenen Teilmengen gerade den Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben muss, was bedeutet das dann für die beiden Teilmengen?

Es bedeutet doch,dass es einen Wert gibt aus dem Wertebereich, f also konstant sein muss.

29.04.2013, 14:58

RavenOnJ

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Es gilt:

Zitat:

Original von RavenOnJ
$\begin{eqnarray*} X = f^{-1}(W\setminus\{a\}) \cup f^{-1}(\{a\}) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(W\setminus\{a\}) \subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{a\}) \subset X \end{eqnarray*}$ sind beides offene Mengen, die vereinigt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben. Wie müssen diese Mengen aussehen, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist? Zur Beantwortung dieser Frage musst du dir nur das durchlesen, was ich weiter oben in meinem vorletzten Post geschrieben habe. Das kann doch nicht so schwer sein.

29.04.2013, 17:21

Der Ehrgeizige

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Tut mir leid ich habe es mir mehrfach durchgelesen, aber ich komme nicht darauf unglücklich

Keine Ahnung es regt mich selbst so auf :\

29.04.2013, 17:44

RavenOnJ

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OK, um dich zu erlösen: Wie ich vorher schon dargelegt hatte, dürfen zwei offene Teilmengen eines zusammenhängenden Raums $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die vereinigt diesen Raum ergeben, weder beide nicht-leer sein (per definitionem) noch beide leer (aus offensichtlichen Gründen). Also muss eine von beiden leer sein und die andere muss der gesamte Raum sein. Die einzige Lösung ist also o.B.d.A.

$\begin{eqnarray*} A=X\land B=\emptyset \end{eqnarray*}$

Da es nun ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=a \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gehört zum Wertebereich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , muss gelten

$\begin{eqnarray*} X\ni x\in f^{-1}(\{a\})\Rightarrow f^{-1}(\{a\}) = X\land f^{-1}(W\setminus\{a\}) =\emptyset \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} x\not\in \emptyset \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass das Urbild von $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ umfasst und der restliche Wertebereich $\begin{eqnarray*} W\setminus\{a\} \end{eqnarray*}$ leer sein muss. Also muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant sein.

30.04.2013, 15:03

Alkohol c Bier

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Annahme
Nehme an die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei nicht konstant und fuehre einen Widerspruch herbei, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zusammenhaengend ist.

Betrachte

1.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}\subset Y \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}^{C}=Y\setminus\left\{v\right\} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}\right)=\left\{x\in X : f(x)=v\right\} \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}^{C}\right)=\left\{x\in X : f(x)\in Y\setminus\left\{v\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .[/quote][/quote]

Mit den Punkten $\begin{eqnarray*} 1) - 4) \end{eqnarray*}$ konstruiere ich zwei disjunkte offene Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die beide nicht leer sind. Ausserdem gilt, wenn eine Abbildung konstant ist, ist sie automatisch stetig.

Behauptung

Seien $\begin{eqnarray*} \{a\},a\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\setminus \{a\} \end{eqnarray*}$ die ja beide offene Mengen sind, und dann die Urbilder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{a\}) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y\setminus \{a\}) \end{eqnarray*}$ , die beide in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen und disjunkt sind, außerdem in der Vereinigung $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergeben müssen. Daraus folgt mit dem Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Folgerung, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der einzige Wert des Wertebereichs sein muss, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also konstant ist.

Beweis
Zwei offene Teilmengen eines zusammenhängenden Raums $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die vereinigt diesen Raum ergeben, weder beide nicht-leer sein (per Definition) noch beide leer. Also muss eine von beiden leer sein und die andere muss der gesamte Raum sein. Die einzige Lösung ist also o.B.d.A.

$\begin{eqnarray*} A=X\land B=\emptyset \end{eqnarray*}$

Da es nun ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=a \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gehört zum Wertebereich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , muss gelten

$\begin{eqnarray*} X\ni x\in f^{-1}(\{a\})\Rightarrow f^{-1}(\{a\}) = X\land f^{-1}(W\setminus\{a\}) =\emptyset \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} x\not\in \emptyset \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass das Urbild von $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ umfasst und der restliche Wertebereich $\begin{eqnarray*} W\setminus\{a\} \end{eqnarray*}$ leer sein muss. Also muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant sein.

30.04.2013, 16:57

RavenOnJ

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