Zusammenhängender metrischer Raum

26.04.2013, 08:59

Der Ehrgeizige

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Zusammenhängender metrischer Raum

Meine Frage:
Servus @ all. Wir haben das Thema der metrischen Räume in der Vorlesung abgeschlossen und müssen jetzt eine Aufgabe dazu lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} (X, d_x) \end{eqnarray*}$ ein zusammenhängender metrischer Raum. Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion ohne Nullstellen. Existiert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} (Y, d_y) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum mit der diskreten Metrik $\begin{eqnarray*} d_y(x, y):=\begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \neq y \end{cases} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x, y \in Y. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Meine Ideen:
So vorweg ist ein metrischer Raum dann definiert, wenn folgendes gilt. Angenommen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige Menge. Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} d\colon X\times X\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt Metrik auf $\begin{eqnarray*} X, \end{eqnarray*}$ wenn für beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Definitheit: $\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) = 0 \Leftrightarrow x = y, \end{eqnarray*}$
2) Symmetrie: $\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) = d(y,x), \end{eqnarray*}$
3) Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} d\left(x,y\right) \leq d(x,z) + d(z,y). \end{eqnarray*}$

Zu dem Begriff der diskreten Metrik kann man sagen, dass die diskrete Metrik eine spezielle Metrik ist, welche auf jeder beliebigen Menge definiert werden kann. Sie macht folglich jede Menge zu einem metrischen Raum. Da sie auf jeder Menge definiert werden kann, verlangt sie, im Gegensatz zu den meisten anderen bekannten Metriken, keine bereits vordefinierten Rechenoperationen auf der ihr zugeordneten Menge.

Für Hilfe, wie ich das jetzt bewältigen soll im Voraus ein Danke.

26.04.2013, 10:41

RavenOnJ

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Wie wär's erst mal mit eigenen Ideen?

26.04.2013, 11:07

Der Ehrgeizige

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Meine Ideen habe ich genannt. Nur ich weiß nicht wie ich diese verwenden soll. Ich wüsste auch nicht wie ich die Axiome nachweisen soll. verwirrt

verwirrt

Wenn man überhaupt diese zeigen soll? Wenn nicht was ist dann andernfalls zu tun?

26.04.2013, 11:14

ollie3

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hallo,
ich misch mich hier mal ein.
Das sind nicht axiome, sondern definitionen, die du bei dem beweis
anwenden darfst. Bei a) ist es wichtig, dass die funktion stetig ist und
keine nullstellen hat. Kann das denn dann passieren, das f angewendet
auf dem raum X auch negative werte annimmt?
gruss ollie3

26.04.2013, 11:22

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum

Zitat:

Original von ollie3
ich misch mich hier mal ein.

Gerne

Willkommen

smile

Joa, oki Definitionen. Ja bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ ist es wichtig, dass die Funktion stetig ist und keine Nullstellen hat.

Zitat:

Original von ollie3
Kann das denn dann passieren, das f angewendet
auf dem raum X auch negative werte annimmt?

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion ohne Nullstellen. Es soll ja ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ existieren, damit $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt. Somit kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ angewendet auf den Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ doch keine negativen Werte annehmen?

26.04.2013, 11:22

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
[quote]Original von ollie3
ich misch mich hier mal ein.

Gerne

Willkommen

smile

Joa, oki Definitionen. Ja bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ ist es wichtig, dass die Funktion stetig ist und keine Nullstellen hat.

Zitat:

Original von ollie3
Kann das denn dann passieren, das f angewendet
auf dem raum X auch negative werte annimmt?

Es soll ja ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ existieren, damit $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt. Somit kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ angewendet auf den Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ doch keine negativen Werte annehmen?

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26.04.2013, 11:58

ollie3

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
hallo,
nein, du weisst ja bisher nur, dass es ein x_0 aus X gibt, für das f(x_0)>0 ist.
Jetzt musst du mit hilfe der anderen vorgaben beweisen, dass für alle x
aus X f(x)>0 gilt.
gruss ollie3

26.04.2013, 12:10

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
Es soll ja ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ existieren, damit $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir wissen also nur, dass $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ . Mit Hilfe der Vorgaben soll ich jetzt aber zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall x \in X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt. Okay mhm verwirrt

verwirrt

. Die Frage aller Fragen, nur wie?

26.04.2013, 12:29

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ollie3

ich misch mich hier mal ein.

ist voll OK, you're welcome smile

smile

26.04.2013, 12:32

RavenOnJ

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Ich misch mich dann auch mal wieder ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Nimm mal an, es gebe ein $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ . Daraus kann man einen Widerspruch zu den Voraussetzungen konstruieren.

26.04.2013, 12:51

Der Ehrgeizige

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Oki. Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ ? nicht $\begin{eqnarray*} f(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ ?

Also. Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \forall x \in X \end{eqnarray*}$ ?

26.04.2013, 13:26

RavenOnJ

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Da hast du etwas missverstanden. Es soll weiterhin $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ gelten, dies ist Voraussetzung. Aber es wird angenommen, es gebe ein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus?

[Edit: Hierbei ist es wichtig, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein zusammenhängender metrischer Raum ist.]

26.04.2013, 16:18

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Aber es wird angenommen, es gebe ein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus?

[Edit: Hierbei ist es wichtig, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein zusammenhängender metrischer Raum ist.]

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ daraus folgt jedenfalls nicht, dass dann $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ . Ein metrischer Raum muss sowohl abgeschlossen wie auch offen sein.

26.04.2013, 16:42

ollie3

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hallo,
da du leider noch nicht die richtige beweisidee gefunden hast, gebe ich dir
mal das entscheidende stichwort zwischenwertsatz. Hast du davon schonmal
gehört?
gruss ollie3

27.04.2013, 09:35

Der Ehrgeizige

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Ja. Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die auf einem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetig ist, jeden Wert zwischen $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ annimmt. Haben insbesondere $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Aber was hat der mit meiner Aufgabe zu tun?

27.04.2013, 09:49

ollie3

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hallo,
ja, das hat deswegen viel mit der aufgabe zu tun, weil man den zwischenwertsatz
auch auf diese aufgabe übertragen kann. Der zwischenwertsatz gilt zwar
eigntlich für stetige funktionen von R nach R auf einem bestimmten intervall,
hier haben wir statt des intervalls einen zusammenhängenden raum.
Und wenn es ein x_0 mit f(x_0)>0 und ein x_1 mit f(x_1)<0 gibt, dann müsste
es ja auch ein x aus X mit f(x)=0 geben, aber das war ja laut vorraussetzung ausgeschlossen.
gruss ollie3

27.04.2013, 10:00

Der Ehrgeizige

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Also wenn $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \land x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ dann ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \exists x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
(bezogen auf unsere Aufgabe)
Also wende ich den Zwischenwertsatz auf die Aufgabe $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ an und zeige, dass $\begin{eqnarray*} \exists x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen ist?

27.04.2013, 10:18

ollie3

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hallo,
deine begründungen sind etwas verdreht.
Also: man weiss f(x_0)>0, man nimmt an es gäbe ein x_1 mit f(x_1)<0,
dann folgt aus dem zwischerwertsatz, dass es dann noch ein anderes x mit
f(x)=0 geben muss, und das ist dann der gewünschte widerspruch zur aufgabenstillung, also
kann es kein f(x_1)<0 geben.
gruss ollie3

27.04.2013, 13:05

Der Ehrgeizige

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Also man weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$
Unsere Annahme ist jedoch, dass $\begin{eqnarray*} \exists x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$
Aus dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein anderes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$

Aber der Zwischenwertsatz besagt ja:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} u\in [f(a), f(b)] \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} f(a)\leq f(b) \end{eqnarray*}$ ) bzw. $\begin{eqnarray*} u\in [f(b), f(a)] \end{eqnarray*}$ (falls $\begin{eqnarray*} f(b)< f(a) \end{eqnarray*}$ ) ein $\begin{eqnarray*} c\in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(c\right)=u. \end{eqnarray*}$

Im Zwischenwertsatz wird ja angenommen es existiert ein abgeschlossenes Intervall, unser zusammenhängender metrischer Raum nimmt das aber doch nicht an? Und kann man einfach auf zusammenhängende metrische Räume übertragen, na gut. Tue mich jedoch schwer zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein anderes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ mit dem ZWS.

27.04.2013, 15:12

RavenOnJ

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Du hast insofern recht, dass $\begin{eqnarray*} (X,d_X) \end{eqnarray*}$ nur ein allgemeiner zusammenhängender metrischer Raum ist und nicht eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gibt aber den Zwischenwertsatz auch in der Form:
Sei $\begin{eqnarray*} (X,d_X) \end{eqnarray*}$ ein zusammenhängender metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} f:X\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x) < c < f(y) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein Element $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=c \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nehme an, $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0, x_0\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0,x_1\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

28.04.2013, 08:21

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Du hast insofern recht, dass $\begin{eqnarray*} (X,d_X) \end{eqnarray*}$ nur ein allgemeiner zusammenhängender metrischer Raum ist und nicht eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gibt aber den Zwischenwertsatz auch in der Form:
Sei $\begin{eqnarray*} (X,d_X) \end{eqnarray*}$ ein zusammenhängender metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} f:X\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x) < c < f(y) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein Element $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=c \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nehme an, $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0, x_0\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0,x_1\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich nehme dann mal an, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0, x_0\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0,x_1\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir nach dem ZWS doch, dass $\begin{eqnarray*} x_0, x_1 \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) > c < f(x_1) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es kein Element $\begin{eqnarray*} z \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=c \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe das reicht aus? Man sollte es ja negieren?

28.04.2013, 09:33

ollie3

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hallo,
oh man, du hast die logik, die hinter dem beweis steht, leider immer noch nicht
verstanden.
Also, nimm an es gibt ein x_0 mit f(x_0)>0 und ein x_1 mit f(x_1)<0. Nach dem
ZWS müssste es dann (wenn man c=0 wählt) ein z geben, für das f(z)=0 ist.
Und genau das ist dann der widerspruch, weil f ja nach vorraussetzung keine
nullstellen haben darf.
gruss ollie3

28.04.2013, 11:31

Der Ehrgeizige

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Joa sry.
Bew.: zu $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ dann folgt aus dem ZWS wähle ein $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$

Reicht das so? Oder wie bauche ich den ZWS ein?

28.04.2013, 11:37

ollie3

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hallo,
ja, das ist schon alles. Und du hast ja jetzt den ZWS benutzt (und damit den widerspruch erzeugt).
gruss ollie3

28.04.2013, 11:44

Der Ehrgeizige

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RE: Zusammenhängender metrischer Raum
Okay, super danke. Jetzt bleibt noch $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} (Y, d_y) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum mit der diskreten Metrik $\begin{eqnarray*} d_y(x, y):=\begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \neq y \end{cases} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x, y \in Y. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Zu dem Begriff der diskreten Metrik kann man sagen, dass die diskrete Metrik eine spezielle Metrik ist, welche auf jeder beliebigen Menge definiert werden kann. Sie macht folglich jede Menge zu einem metrischen Raum. Da sie auf jeder Menge definiert werden kann, verlangt sie, im Gegensatz zu den meisten anderen bekannten Metriken, keine bereits vordefinierten Rechenoperationen auf der ihr zugeordneten Menge.

Wie kann man das Problemchen angehen?

28.04.2013, 12:29

RavenOnJ

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Da f stetig, sind Urbilder offener Mengen in Y unter $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ offene Mengen in X. Anders ausgedrückt:
Sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen, dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ offen in X. Was sind die offenen Mengen in Y mit der diskreten Metrik?

28.04.2013, 13:25

granada

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kleine frage zwischendurch:

kann man a) auch ohne den zwischenwertsatz (für zusammenhängende metr. räume) beweisen?

indem man einfach sagt:

für x_0 ist f(x_0)>0 und es soll keine nullstellen geben und f ist stetig

dann muss es für beliebiges x in X eine beliebige Umgebung V von f(x) geben so dass für eine umgebung U von x dann f(y) in V für alle y in U.

und die vereinigung der ganzen umgebungen V_i für alle f(x_i), x_i in X muss doch in R^+ liegen, weil es eben keine Nullstellen geben soll.

also können doch die werte f(x) nicht kleiner 0 sein (0 können sie eh nicht sein, da es keine nullstellen geben soll).

mit anderen worten: kann man nicht einfach mit der stetigkeitsdefinition argumentieren?

28.04.2013, 13:50

Der Ehrgeizige

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RavenOnJ
Da f stetig, sind Urbilder offener Mengen in Y unter $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ offene Mengen in X. Anders ausgedrückt:
Sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen, dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ offen in X. Was sind die offenen Mengen in Y mit der diskreten Metrik?

Urbilder offener Mengen in X, also ein metrischer Raum?

Zitat:

Original von granada
mit anderen worten: kann man nicht einfach mit der stetigkeitsdefinition argumentieren?

Sry

verwirrt

- weiß ich nicht, würde es dir gerne sagen.

28.04.2013, 13:54

Lurchi_der_Lurch

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

du hast die frage nicht verstanden.

du hast den metrischen raum $\begin{eqnarray*} (Y,d_Y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_Y \end{eqnarray*}$ diskrete Metrik:

was sind die offenen mengen in Y?

was eine offene menge ist, weißt du?

Sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen, dann gibts um jedes element aus V eine epsilonkugel die in V enthalten ist.

28.04.2013, 13:55

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige

Urbilder offener Mengen in X, also ein metrischer Raum?

Bitte etwas weniger kryptisch. Was willst du damit sagen?

28.04.2013, 14:39

Der Ehrgeizige

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
hallo,

du hast die frage nicht verstanden.

du hast den metrischen raum $\begin{eqnarray*} (Y,d_Y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_Y \end{eqnarray*}$ diskrete Metrik:

was sind die offenen mengen in Y?

Keine Ahnung unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
was eine offene menge ist, weißt du?

Ja.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Bitte etwas weniger kryptisch. Was willst du damit sagen?

Quasi das was du gesagt hast:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Da f stetig, sind Urbilder offener Mengen in Y unter $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ offene Mengen in X. Anders ausgedrückt:
Sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen, dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ offen in X. Was sind die offenen Mengen in Y mit der diskreten Metrik?

nur umgekehrt, bzw. negiert ist mir nicht gelungen, ich weiß nicht was die offenen Mengen in Y mit der diskreten Metrik sind verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 14:42

Lurchi_der_Lurch

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe, es ist okay, wenn ich mich hier auch noch einmische. :-)

du musst dir einfach klar machen, daß zwei ungleiche Punkte in Y den "Abstand" 1 haben. Wenn Du also für die Epsilonkugel einen Radius kleiner 1 nimmst, was ist dann? Und was, wenn Du einen Radius größer/gleich 1 nimmst?

Mit diesen Überlegungen kommst Du zu dem Ergebnis, dass ALLE Teilmengen von Y offen und abgeschlossen sind.

28.04.2013, 14:54

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere sind alle einelementigen Teilmengen offen.

28.04.2013, 15:34

Der Ehrgeizige

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
ich hoffe, es ist okay, wenn ich mich hier auch noch einmische. :-)

du musst dir einfach klar machen, daß zwei ungleiche Punkte in Y den "Abstand" 1 haben. Wenn Du also für die Epsilonkugel einen Radius kleiner 1 nimmst, was ist dann? Und was, wenn Du einen Radius größer/gleich 1 nimmst?
Mit diesen Überlegungen kommst Du zu dem Ergebnis, dass ALLE Teilmengen von Y offen und abgeschlossen sind.

Epsilonkugel? Was meinst du damit? Was ist das? Ich verstehe nicht den Zusammenhang zu meiner Aufgabe, daher weiß ich nicht so recht.

PS: Gerne einmischen Freude

Freude

Danke

Tanzen

Zitat:

Original von RavenOnJ
Insbesondere sind alle einelementigen Teilmengen offen.

Ok. Danke.

28.04.2013, 15:35

Lurchi_der_Lurch

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen. Das ist dann der Fall, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} B(v,\varepsilon):=\left\{y\in Y : d_Y(v,y)<\varepsilon\right\}\subset V \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} B(v,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ nennt man Epsilonkugel mit Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Manche sagen auch Epsilonball oder Epsilonumgebung.

Der Zusammenhang mit deiner Aufgabe ist: Du musst verwenden, daß einelementige Teilmengen von Y offen sind.

----

So und mit dem Resultat und damit, dass Urbilder offener Mengen wegen der Stetigkeit offen sind und der Tatsache, dass X zusammenhängend ist, kannst Du jetzt folgern, dass f konstant ist.

28.04.2013, 15:45

Der Ehrgeizige

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
So und mit dem Resultat und damit, dass Urbilder offener Mengen wegen der Stetigkeit offen sind und der Tatsache, dass X zusammenhängend ist, kannst Du jetzt folgern, dass f konstant ist.

Also es sei $\begin{eqnarray*} V\subset Y \end{eqnarray*}$ offen. Das ist dann der Fall, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} B(v,\varepsilon):=\left\{y\in Y : d_Y(v,y)<\varepsilon\right\}\subset V \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} B(v,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ nennt man Epsilonkugel mit Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Manche sagen auch Epsilonball oder Epsilonumgebung.

----> f konstant? einfach? das kann ich daraus folgern, oder muss ich das noch irgendwie zeigen?

28.04.2013, 15:53

Lurchi_der_Lurch

Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst Du schon noch zeigen!

Nimm an, dass f nicht konstant ist und führe das zu einem Widerspruch dazu, dass X zusammenhängend ist.

Ich geb Dir mal den Anfang:

Betrachte $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}\subset Y \end{eqnarray*}$ . Diese Teilmenge ist, wie du dir hoffentlich klar gemacht hast, offen (und auch abgeschlossen, aber das ist gerade nicht so entscheidend). Jetzt betrachte noch das Komplement $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}^{C} \end{eqnarray*}$ . Und nun von diesen beiden Mengen die Urbilder, die aufgrund der Stetigkeit von f beide jeweils offen sind...

28.04.2013, 16:02

Der Ehrgeizige

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Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
Und nun von diesen beiden Mengen die Urbilder, die aufgrund der Stetigkeit von f beide jeweils offen sind...

Sri da kann ich nicht ganz folgen unglücklich

unglücklich

Die Urbilder beider Mengen, die aufgrund der Stetigkeit von f jeweils beide offen sind mhm Das Urbild einer Menge nehmen wir unsere Menge Y, unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die auf Elemente in Y abgebildet werden. Ein Element x aus der Definitionsmenge von f liegt also genau dann im Urbild von Y, wenn f(x) in Y liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge von f eine Teilmenge der Definitionsmenge. verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 16:10

RavenOnJ

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Wie ist denn bei euch ein zusammenhängender metrischer Raum definiert? Vielleicht sollte man erst mal damit anfangen. Ich würde diese Definition nehmen:

"Ein zusammenhängender metrischer Raum X lässt sich nicht in zwei nicht leere offene Teilmengen zerlegen."
Anders gesagt, wenn es eine disjunkte Zerlegung in zwei offene Teilmengen gibt, dann muss eine dieser Teilmengen die leere Menge sein.

Den Weg mit den $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebungen kann man zwar auch verfolgen, er ist jedoch unnötig kompliziert.

28.04.2013, 16:17

Lurchi_der_Lurch

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Edit: Ich habe folgende Definition benutzt: Ein metrischer Raum (X,d) heißt zusammenhängend, wenn X und die leere Menge die einzigen Mengen sind, die zugleich offen und abgeschlossen sind.

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Ich kann wiederum dir nicht ganz folgen, weil das irgendwie recht wirr ist, was du machst bzw. ich sehe keinen Sinn darin, der für den Beweis zielführend wäre.

Ich versuche es nochmal deutlicher zu machen, wie ich es gemacht hätte.

Ziel: Nimm an, die stetige Funktion f sei nicht konstant. Führe einen Widerspruch dazu herbei, dass X zusammenhängend ist.

Betrachte

1.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}\subset Y \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \left\{v\right\}^{C}=Y\setminus\left\{v\right\} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}\right)=\left\{x\in X : f(x)=v\right\} \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{v\right\}^{C}\right)=\left\{x\in X : f(x)\in Y\setminus\left\{v\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .

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