Mengen; metrische Räume

26.04.2013, 11:18

Un-aachen

Mengen; metrische Räume

Hallo Zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie, dass die folgenden Mengen metrische Räume sind:

$\begin{eqnarray*} d(z,w):= {| z-w| , falls z=\lambda w für \lambda >0 <br /> {|z| +|w| , sonst \end{eqnarray*}$

irgendwie bekomme ich das mit den Formeleditor nicht hin...
da steht: ! Please use \mathaccent for accents in math mode... was auch immer ich machen soll?? Ich kanns nicht^^

Für die Aufgabe an sich habe ich schon ideen, vllt kann das erstmal einer Richtig posten... sorry traurig

26.04.2013, 11:20

Un-aachen

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RE: Mengen; metrische Räume
d(z,w):=\left\{ | z-w| , falls z=\lambda w für \lambda >0 \left\{|z| +|w| , sonst

so hier die falsche Version meiner Eingabe, ohne Latex, damit es so angezeigt wird...

26.04.2013, 11:40

James Blond

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RE: Mengen; metrische Räume
Ehrlich ein wenig Bemühung wäre nicht schlecht...

Zu beweisen ist also, dass die folgenden metrischen Räume auch welche sind

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} d(z, w):=\begin{cases} |z-w|, \text{falls} z=\lambda w \text{für ein} \lambda >0\\ |z|+|w|, \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z, w \in \mathbb C. \end{eqnarray*}$

Deine Ideen?

26.04.2013, 12:47

Un-aachen

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RE: Mengen; metrische Räume
$\begin{eqnarray*} d(z,w)=|z-w|=((z_1-w_1)^2+(z_2-w_2)^2)^{\frac{1}{2}} <br /> wenn z = z_1 + iz_2; w = w_1 + iw_2 \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 13:08

Un-aachen

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RE: Mengen; metrische Räume
jeder normierte Raum ist auch metrisch...

26.04.2013, 13:38

RavenOnJ

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Nur eine Anmerkung:
Du darfst nicht immer deinen gesamten Text in Latex-Tags packen, nur die Formeln. Und wenn innerhalb des Latex-Codes doch Text auftauchen soll, dann muss der mit \text{ mein Text } geklammert werden.

code:
1:	[latex]d(z,w) = \|z - w\| \text{ , falls } z=\lambda w \text{ für ein } \lambda >0 [/latex]

wird zu

$\begin{eqnarray*} d(z,w) = |z - w| \text{ , falls } z=\lambda w \text{ für ein } \lambda >0 \end{eqnarray*}$

Bin schon wieder weg.

26.04.2013, 13:39

chris95

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Du musst zeigen, dass d eine Metrik ist.

Also dann zeig mal die 3 Axiome.

26.04.2013, 15:24

Un-aachen

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Es gibt zwei Fälle:

a) $\begin{eqnarray*} z=\lambda w \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda>0 : |z-w|=d(z,w) \end{eqnarray*}$
b) wenn (a) nicht, dann gilt: $\begin{eqnarray*} |z-w|\leq |z|+|w|=d(z,w) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0<|z-w|\leq d(z,w)\text{ falls } z\neq w \end{eqnarray*}$

d(z,z)=0, da z=1*z => definitheit von z

Symmetrie: folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} z=\lambda w \text{ mit} (\lambda >0) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} w=\lambda ^{-1}\cdot z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\lambda ^{-1}>0) \end{eqnarray*}$

Dreiecksungleichung: (Fallunterscheidung)
a) $\begin{eqnarray*} z=\lambda w, \text{mit} \lambda >0: d(z,w)=|z-w|\leq |z-v|+|v-w|\leq d(z,v)+d(v,w) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z\neq \lambda w \end{eqnarray*}$ (für alle $\begin{eqnarray*} \lambda>o) \end{eqnarray*}$ und:

1) $\begin{eqnarray*} v\neq \alpha z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha >0 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} v\neq \beta w \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(z,w)=|z|+|w|\leq |z|+|v|+|v|+|w|=d(z,v)+d(v,w) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} v=\alpha z \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \alpha >0: v\neq \beta w \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(z,w)=|z|+|w|\leq |z-v|+|v|+|w|=d(z,v)+d(v,w) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} v=\beta w \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$ analog.

27.04.2013, 17:46

McClane

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Hi,

könntest du mir erklären, warum du am Ende noch die Fallunterscheidungen machen musst? a) und b) sind klar. Der Rest aber nicht.

27.04.2013, 19:23

Un-aachen

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Hallo,
weiß noch nicht mal ob das hier richtig ist -.- antwortet irgendwie keiner drauf..

Man muss doch eine Fallunterscheidung immer dann machen, wenn der gegebene Parameter Einfluss auf die Lösung hat. Das ist ja hier der Fall ?!?!?!!!!

Ich bin eigentlich selber hier , um Hilfe zu bekommen Big Laugh

27.04.2013, 19:38

McClane

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Also meiner Meinung nach, müsste man für die Dreiecksungleichung nur zeigen, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} z=\lambda w, \text{mit } \lambda >0: d(z,w)=|z-w|\leq |z-v|+|v-w|\leq d(z,v)+d(v,w) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z\neq \lambda w \end{eqnarray*}$ (für alle $\begin{eqnarray*} \lambda>0): d(z,w)=|z|+|w|\leq |z|+|v|+|v|+|w|=d(z,v)+d(v,w) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber nicht sicher!

27.04.2013, 19:57

Un-aachen

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naja einfach alles hin schreiben... wenn man mehr hat werden einem schon keine Punkte abgezogen... solange man alles das hat, was gefragt ist...

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Mengen; metrische Räume

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