Linearer und beschränkter Operator

26.04.2013, 16:28

teo

Linearer und beschränkter Operator

Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} g_{t}(x)=\frac{1}{\left( 4\pi t\right) ^{\frac{n}{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}},\ t > 0,\ x \in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray*}$

Beweisen, dass der Operator
$\begin{eqnarray*} T_t : L_p(\mathbb{R}) \to L_p(\mathbb{R}),1\leq p<\infty,\quad (T_t f)y = \int\nolimits_{\mathbb{R}}g_{t}(y-x)f(x)dx \end{eqnarray*}$
linear und beschr\aa nkt ist. Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \left\Vert T_{t}\right\Vert . \end{eqnarray*}$

Ich brauche ihre Hilfe, um diese Aufgabe zu lösen.
Ich hoffe, Sie verstehen mich, weil ich nicht Deutsch spreche.
Vielen Dank.

26.04.2013, 17:32

Che Netzer

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RE: Linearer und beschränkter Operator

Zitat:

Original von teo
Ich hoffe, Sie verstehen mich, weil ich nicht Deutsch spreche.

Wäre es dir lieber, wenn wir die Frage auf Englisch bearbeiten?

Ansonsten: Die Linearität des Operators dürfte klar sein (oder?).
Um die Beschränktheit (und auch die Wohldefiniertheit) nachzuweisen, fang damit an, $\begin{eqnarray*} \lVert T_tf\rVert_{L^p}^p \end{eqnarray*}$ aufzuschreiben.

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