Kongruenzbeweis

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bZerk Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzbeweis
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich sitze mal wieder vor einer Aufgabe, und habe das Gefühl kurz davor zu sein, sie zu lösen, aber ich kriegs einfach nicht hin^^

Die Aufgabe lautet:

Seien eine Primzahl und eine ganze Zahl mit

Zeigen Sie:

Als Hinweis wurde uns gegeben, dass wir nach dem kleinen Satz von Fermat umschreiben sollen.

Meine Ideen:
Habe den Hinweis beachtet und den kleinen Satz von Fermat angewendet, welcher besagt, dass für jede Primzahl mit jedem teilerfremden a gilt:



Da das durch die Voraussetzung erfüllt ist gilt also:

und

Hier komme ich jetzt nicht weiter, sprich ich weiß nicht genau wie man auf die Kongruenz zu kommt.

Über Ansätze wäre ich sehr dankbar smile

Gruß bZerk
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch sicher den binomischen Satz ?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du bist auf einem guten Weg. Jetzt heißt es nur noch Binomi anwenden.

Mit dem Satz von Euler-Fermat ging's noch schneller.
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Anwendung des binomischen Satzes ergäbe das also:

richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, hast die Klammer um das vergessen, richtig ist

.


Schreibtechnisch etwas effizienter wäre allerdings

,

die Summanden mit kannst du gleich abhaken - warum?
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich grade leider überfragt verwirrt
 
 
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Da HAL9000 wohl grade off ist:

Du arbeitest mod p²
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe, das bringt mich allerdings trotzdem irgendwie nicht weiter unglücklich
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dich das nicht weiter bringt verstehst du es auch nicht. unglücklich

Vielleicht hilft es dir die ersten Terme der Summe hinzuschreiben.
Ansonsten rate ich dazu dir nochmal die Definition des Rechnens modulo n scharf anzuschauen.
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich glaube, dass ich es jetzt habe! Ich versuchs mal sauber aufzuschreiben Augenzwinkern
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »





Da aber gilt: folgt daraus, dass



Da ja folgt letztlich



Ich hoffe das ist richtig so Big Laugh
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
bZerk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super danke smile

Ich hatte vorhin nur den Denkfehler, dass lediglich für gerade j . Das hat mir dann natürlich nicht viel gebracht. Aber ich hoffe dieser Denkfehler sei mir, unter Berücksichtigung, dass ich seit nunmehr wieder 6 Stunden Mathe mache, verziehen Big Laugh

Ansonsten nochmals herzlichen Dank smile
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