Kompakte Menge

26.04.2013, 22:23

McClane

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Kompakte Menge

Hallo,

ich habe folgende Menge gegeben

$\begin{eqnarray*} K=\mathbb{Q}\quad\cap [0,1] \end{eqnarray*}$

Ich soll überprüfen, ob die Mene kompakt ist und wenn nicht, eine offene Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält.

Meine Lösung sieht bis jetzt so aus:

Sei M das Komplement der Menge K. Wenn M kompakt ist, muss M abgeschlossen sein. Das Komplement also offen.

Betrachte nun ein q aus diesem Komplement. q ist irrational. Jedoch gibt es in jeder Umgebung von q ein rationales Element. Daher ist das Komplement nicht offen->Widerspruch zur Anname, dass M kompakt ist.

M ist keine kompakte Menge

Nun weiß ich jedoch nicht weiter, Wie kann ich eine eine offene Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält?

26.04.2013, 22:41

Che Netzer

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RE: Kompakte Menge
Was willst du denn mit dem Komplement?
Es interessiert sich doch niemand dafür, ob $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kompakt ist...

26.04.2013, 22:46

McClane

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RE: Kompakte Menge
Entschuldige ich habe in meinem Text Mund K ein paar mal vertauscht.

Hier nun richtig:

Sei M das Komplement der Menge K. Wenn K kompakt ist, muss K abgeschlossen sein. Das Komplement M also offen.

Betrachte nun ein q aus M. q ist irrational. Jedoch gibt es in jeder Umgebung von q ein rationales Element. Daher ist das Komplement nicht offen->Widerspruch zur Anname, dass K kompakt ist.

K ist keine kompakte Menge

Nun weiß ich jedoch nicht weiter, Wie kann ich eine eine offene Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält?

26.04.2013, 22:52

Che Netzer

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RE: Kompakte Menge

Zitat:

Original von McClane
Betrachte nun ein q aus M.

Okay.
Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} q=\frac1\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q=2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

q ist irrational.

Wieso?

Zitat:

Nun weiß ich jedoch nicht weiter, Wie kann ich eine eine offene Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält?

Könntest du eine finden, wenn es um $\begin{eqnarray*} \tilde K=\mathbb R\setminus\left\{\frac1\pi\right\} \end{eqnarray*}$ ginge?

26.04.2013, 23:08

McClane

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RE: Kompakte Menge

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von McClane
Betrachte nun ein q aus M.

Okay.
Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} q=\frac1\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q=2 \end{eqnarray*}$ .Original von Che Netzer

Zitat:

[i]Original von McClaneq ist irrational.

Wieso?

K sind ja alle rationalen rationalen Zahlen im Intervall [0,1]. Das Komplement enthält also irrationale Zahlen. Aus diesen wähle ich mein q. q=2 ginge also nicht.

In jeder Umgebung von q finde ich aber rationale Zahlen, weswegen das Komplement nicht offen sein kann

Zitat:

Zitat:

[i]Original von McClaneNun weiß ich jedoch nicht weiter, Wie kann ich eine eine offene Überdeckung angeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält?

Könntest du eine finden, wenn es um $\begin{eqnarray*} \tilde K=\mathbb R\setminus\frac1\pi \end{eqnarray*}$ ginge?

Nein, ich stehe da was auf dem Schlauch.

26.04.2013, 23:12

Che Netzer

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RE: Kompakte Menge

Zitat:

Original von McClane
K sind ja alle rationalen rationalen Zahlen im Intervall [0,1]. Das Komplement enthält also irrationale Zahlen. Aus diesen wähle ich mein q. q=2 ginge also nicht.

Klar geht $\begin{eqnarray*} q=2 \end{eqnarray*}$ . Zwei ist doch wohl eindeutig im Komplement von $\begin{eqnarray*} [0,1]\cap\mathbb Q \end{eqnarray*}$ enthalten.

Ihr habt doch aber bestimmt schonmal eine offene Überdeckung eines offenen Intervalls angegeben, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt, oder?

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26.04.2013, 23:21

McClane

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Ja stimmt. Sry habe mich vertan. Natürlich ist q=2 im Komplement enthalten.

Eine offene Überdeckung, eines offenen Intervalls, welches keine endliche Teilüberdeckung besitzt,war bei ]0,1] kein Problem zu finden.

Hier kirege ich es jedoch nicht hin.

27.04.2013, 09:00

Che Netzer

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Und welche habt ihr da gewählt?
Bzw. gib am besten gleich eine analoge Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \left]\frac1\pi,1\right] \end{eqnarray*}$ an.

27.04.2013, 09:18

McClane

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Als offene Überdeckung hatte ich $\begin{eqnarray*} U=(\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ gewählt.

Bei $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{\pi},1] \end{eqnarray*}$ würde als offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U=(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ wählen

27.04.2013, 09:22

Che Netzer

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Fast.
Mit den Intervallen überdeckst du die Eins nicht, besser wäre z.B. $\begin{eqnarray*} \left(\frac1\pi+\frac1n,\infty\right) \end{eqnarray*}$ .
(und es ging um $\begin{eqnarray*} (\tfrac1\pi,1] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left]\tfrac1\pi,1\right] \end{eqnarray*}$ , nicht um $\begin{eqnarray*} [\tfrac1\pi,1] \end{eqnarray*}$ )

Und jetzt kannst du versuchen, diese Überdeckung zu einer von $\begin{eqnarray*} (-\infty,\tfrac1\pi)\cup(\tfrac1\pi,\infty)=\mathbb R\setminus\{\tfrac1\pi\} \end{eqnarray*}$ zu erweitern.

27.04.2013, 09:37

McClane

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Ok, müsste diese Überdeckung dann nicht $\begin{eqnarray*} U=(-\infty,\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n})\cup(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n},\infty,) \end{eqnarray*}$ lauten?

27.04.2013, 09:57

Che Netzer

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Nein, so klappt das nicht. Mal dir mal zwei verschiedene dieser Mengen auf.

27.04.2013, 10:04

McClane

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Sry ich komme nicht weiter. Warum ist den diese offene Überdeckung nicht richtig?

27.04.2013, 10:09

Che Netzer

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Hast du dir zwei der genannten Mengen aufgemalt?

27.04.2013, 10:20

McClane

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Moment. Ich glaube ich habe meinen Fehler.

$\begin{eqnarray*} U=(-\infty,\frac{1}{\pi}-\frac{1}{n})\cup(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n},\infty, \end{eqnarray*}$

lauten?

Diese offene Überdeckung wäre ja genau $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

27.04.2013, 10:26

Che Netzer

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Das ist schon besser.
Es würde aber auch
$\begin{eqnarray*} \left(-\infty,\frac1\pi\right)\cup\left(\frac1\pi+\frac1n,\infty\right) \end{eqnarray*}$
gehen.
Ist das nun auch eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ?

27.04.2013, 10:35

McClane

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Zu $\begin{eqnarray*} \tilde K=\mathbb{R}\setminus\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ wäre dies eine offene Überdeckung.

Bei $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{Q}\quad\cap [0,1] \end{eqnarray*}$ doch eigentlich nicht?

27.04.2013, 10:38

Che Netzer

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Wieso nicht?

27.04.2013, 10:43

McClane

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Wieso wäre das eine offene Überdeckung für K

K sind doch alle rationale Zahlen in [0,1]

Ich sehe da nicht den Zusammenhang.

27.04.2013, 10:46

Che Netzer

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Dann nenn mir doch mal ein Element aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , das nicht durch die angegebenen Mengen überdeckt wird.

27.04.2013, 10:55

McClane

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Bin mir was unsicher. z.B 2/5

27.04.2013, 11:09

McClane

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Die offene Übderdeckung der Menge wäre ja

$\begin{eqnarray*} \tilde K=\mathbb{R}\setminus\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Dabei sind ja Elemente enthalten, die nicht in K sind.

Wie würde man den zeigen können, dass diese Menge keine endliche Teilüberdeckung liefern kann?

27.04.2013, 11:20

Che Netzer

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Zwei Fünftel sind z.B. in $\begin{eqnarray*} \left(\frac1\pi+\frac1{100},\infty\right) \end{eqnarray*}$ enthalten.

Anders gefragt: Wenn wir eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \tilde K \end{eqnarray*}$ haben, welche Zahlen sind dann die einzigen, die nicht überdeckt werden?
Liegt eine davon in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ?

27.04.2013, 11:27

McClane

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Nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ wird nicht überdeckt. Liegt aber auch nicht in K.

27.04.2013, 11:38

Che Netzer

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Und was schließt du daraus?
Haben wir nun auch eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ?

27.04.2013, 11:45

McClane

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Eigentlich müsste man dann eine Überdeckung von K haben. Die Frage ist nur, ob ich eine endliche Teilüberdeckung bekomme kann.

Sry, ich stehe das was auf dem Schlauch

27.04.2013, 11:48

Che Netzer

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Ob es eine endliche Teilüberdeckung gibt, kannst du dir nun auch mal selbst überlegen. Alles kann ich dir nicht verraten.

27.04.2013, 11:54

McClane

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Ok, ich würde es jetzt so begründen: Die Menge ist eine offene Überdeckung von K. Wenn ich jedoch n begrenze, gibt es in der Umgebung von 1/pi rationale Zahlen, die nicht überdeckt werden, aber im Intervall [0,1] liegen. Damit hätte ich gezeigt, dass K nicht kompakt ist.

27.04.2013, 11:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von McClane
Wenn ich jedoch n begrenze, gibt es in der Umgebung von 1/pi rationale Zahlen, die nicht überdeckt werden, aber im Intervall [0,1] liegen.

Das solltest du etwas genauer formulieren.

27.04.2013, 12:04

McClane

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Ok. Ich wollte auch nur wissen, ob dass vom Ansatz her ok ist.

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

27.04.2013, 12:42

McClane

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Sry,ich muss nochmal nachfragen. Was ist zb mit Elementen der Menge K, die kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ sind. Werden diese durch $\begin{eqnarray*} U=(-\infty,\frac{1}{\pi})\cup(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n},\infty) \end{eqnarray*}$ überhaupt überdeckt?

z.B 1/100

27.04.2013, 12:45

Che Netzer

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Alle Elemente, die kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac1\pi \end{eqnarray*}$ sind, liegen doch in $\begin{eqnarray*} \left(-\infty,\frac1\pi\right) \end{eqnarray*}$ .

27.04.2013, 12:56

McClane

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Ach klar. Sry

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