Koordinatenform in Parameterform umwandeln. (Ebene)

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Thessia Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatenform in Parameterform umwandeln. (Ebene)
Guten Abend!

Ich muss die Koordinatenform einer Ebene e: 3x-y+5z=0 in die Parameterform umwandeln, habe die Lösung dazu aber leider keinen Rechenweg:

P1 (3|-1|-2) P2(4|2|-2) P3 (1|-2|-1)

e: (3|-1|-2)+t.(1|3|0)+s.(1|-2|-1)

Ich habe zuerst versucht die Gleichung nach x aufzulösen und für y und z, t und s einzusetzen jedoch hatte ich dann y/3 und wusste nicht mehr wie das funktionieren soll. Dann hatte ich mir gedacht, ich kann doch auch einfach nach y auflösen, nachdem ich dann nicht die gesamte Gleichung durch irgendetwas dividieren muss, bin mir aber nicht sicher ob man das 'darf' und das gleiche wie in meiner Lösung ist mir dabei auch nicht rausgekommen.

Dann habe ich versucht den Normalvektor (3|-1|5) umzuformen sodass ich meine 2 Richtungsvektoren hab, nachdem meine Koordinatenform aber =0 ist wusste ich nicht wie ich auf den Ortsvektor kommen soll.

Ich finde einfach kein Vorzeigebeispiel mit Koordinatenformen die =0 sind an denen ich mich Orientieren kann, bitte helft mir doch weiter!
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst die Gleichung auch nach y auflösen, kein Problem.
Welche Parametergleichung hast Du denn herausbekommen? Bedenke, daß es für jede Ebene unendlich viele Darstellungen einer Parametergleichung gibt.

Als Ortsvektor kommt übrigens jeder Punkt in Frage, der die Koordinatengleichung erfüllt. Bei Deiner Ebene ist der Koordinatenursprung ein ganz heißer Kandidat. Augenzwinkern
 
 
Thessia Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort smile !

Die Parameterform die ich herausbekommen hab ist

e: (0|0|0) + r.(1|3|0) + t.(-5|0|3)

Ja, ich dachte mir (habe gehofft), dass das so in der Art auch richtig sein könnte, aber ich frage mich einfach wie meine Lehrerin auf diese Lösung gekommen ist. (den einen Richtungsvektor hab ich ja sogar richtig, das verwirrt mich Big Laugh )
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Parametergleichung ist völlig richtig. Freude
Ich wundere mich allerdings über Deinen zweiten Richtungsvektor. Nach Auflösen der Koordinatengleichung nach y hätte ich eher
erwartet.
Alle Gleichungen beschreiben allerdings dieselbe Ebene.
Thessia Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu smile ! Dankeschön!

Naja ich habe bei dem zweiten Richtungsvektor 3 zu 0 gemacht und die übrig gebliebenen umgedreht. Das mit dem auflösen nach y hat mit dem Richtungsvektorversuch gar nicht mehr zu tun. Beim auflösen nach y ist mir was völlig anderes rausgekommen (e: (3|0|0)+s.(1|1|0)+t.(5|0|1) , falls dich das interessiert, glaub auch, dass da irgendwas nicht stimmt. Augenzwinkern )

Dennoch, vielen Dank!
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe von Deinem Vorgehen kaum ein Wort, anscheinend hast Du einen Richtungsvektor über das Skalarprodukt bestimmt. verwirrt
Bei der neu geschriebenen Parametergleichung stimmt schon der Stützvektor nicht.
Thessia Auf diesen Beitrag antworten »

Haha Big Laugh

Also ich habe 2 verschiedene Arten online über Videos gefunden, wie man denn von der Koordinatenform auf die Parameterform kommt.

Die erste, die ich gefunden habe, ging eben so dass man sich x,y oder z ausdrückt, die restlichen Vokabeln dann t und s tauft und sie untereinanderschreibt:

-y= -3x - 5z |.(-1)
y= 3x + 5z
x=s
z=t

x= 0s 0 0
y= 3 s + 5 t
z= 0 0 t => (0|3|0)+s.(1|1|0)+t.(0|5|1)
Ich muss aber dazu sagen, so 100%ig verstanden hab ich das nicht, deshalb ja auch "da is sicher auch irgendwas falsch". Ich würde ja das Video verlinken, in dem das gezeigt wurde, glaube aber, dass ich das nicht darf.

Und dann hab ich eben noch eine Methode gefunden, bei der man sich den eh schon dastehenden Normalvektor nimmt, also (3|-1|5). Und nachdem der Normalvektor mit dem Richtungsvektor multipliziert ja immer null ergibt, blende ich einfach eine Koordinate aus, vertausche die 2 restlichen und ändere ein Vorzeichen. Für den Ortsvektor muss man halt einen Vektor finden der =0 ergibt (also multipliziert mit dem Normalvektor), oder was auch immer dann hinten dran steht nach dem =-Zeichen an der Ebenengleichung. Also bei mir dann eben:

(0|0|0)+s.(1|3|0)+t(-5|0|3)
Die 0-er in den Richtungsvektoren sind die jeweils ausgeblendeten Koordinaten.

Mit "das mit dem Auflösen nach y hat mit dem Richtungsvektor gar nichts mehr zu tun" meinte ich, dass das zwei verschiedene Herangehensweisen war die ich für dieselbe Gleichung ausprobiert habe Augenzwinkern .
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