Aquivalenzrelation, -klasse

27.04.2013, 00:24

HammerTobi

Aquivalenzrelation, -klasse

Hallo, ich versuche gerade, mir etwas für die Quotiententopologie anzueignen und dafür brauch ich erstmal ein wenig Verständnis über Äquivalenzrelationen und -klassen

Erstmal habe ich mich mir ein Beispiel rausgesucht:
$\begin{eqnarray*} x \sim y :\Leftrightarrow \exists \lambda\neq 0:y = \lambda x \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist (hier auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ):

(i) reflexiv:

$\begin{eqnarray*} z.z.: x \sim x : \exists \lambda\neq 0: x = \lambda x \end{eqnarray*}$
(klar, $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Bedingung)

(ii) symmetrisch:

$\begin{eqnarray*} z.z.: x \sim y \Rightarrow y \sim x: \exists \lambda\neq 0:y = \lambda x \Rightarrow \exists \lambda\neq 0:x = \lambda y \end{eqnarray*}$
(oder muss es hier am ende 1/lambda heißen?)

(iii) transitiv:

$\begin{eqnarray*} z.z.: x \sim y \wedge y \sim z \Rightarrow x \sim z: \exists \lambda \neq 0: y=\lambda x \wedge \exists \lambda \neq 0: z=\lambda y \Rightarrow \exists \lambda \neq 0: z= \lambda \lambda x \end{eqnarray*}$

Meine Fragen: Kann ich das so machen verwirrt

Oder habe ich irgendwo geschlampt?
Falls das so richtig ist, so wäre durch ~ eine Äquivalenzrelation gegeben, richtig?
Wie kann ich denn, falls das eine Äquivalenzrelation ist, eine Äquivalenzklasse bilden?

Sorry fürs nerven und ich freu mich auf eure Antworten smile

Tobi

27.04.2013, 02:11

watcher

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \sim y :\Leftrightarrow \exists \lambda\neq 0:y = \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? oder ...
Bei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wärs z.B. keine ÄR.
Also wie üblich bitte vollständige Angaben.

Zitat:

Ich möchte nun zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist (hier auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ):

Wenn meine erste Vermutung oben stimmt ist die Äquivalenzrelation ziemlich langweilig.

Die i) passt.
Danach ist deine Notation grausig.
In einer Aufgabe müssen verschiedene Objekte auch verschiedene Namen haben.
Wie soll man sie auch sonst auseinanderkennen.
Du nennst einfach alles Lambda. Man könnte z.B. indizieren, Striche dranmachen, andere griechische Buchstaben verwenden.

Zitat:

Wie kann ich denn, falls das eine Äquivalenzrelation ist, eine Äquivalenzklasse bilden?

Definition anschauen.

27.04.2013, 11:05

HammerTobi

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Hi,

ja, $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dass die Äquivalenzrelation ziemlich langweilig ist, kann schon sein, aber um ein Gespür dafür zu entwickeln und damit umgehen zu können, darf man schonmal zu eben solchen Dingen greifen, oder nicht?!

Mit der Notation hast du natürlich Recht, die ist grauenhaft Hammer

.

Also nochmal:

(i) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{1} \neq 0: x = \lambda_{1} x, (\lambda_{1} =1) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{2} \neq 0:y = \lambda_{2} x \Rightarrow \exists \lambda_{3} \neq 0:x = \lambda_{3} y, (\lambda_{3}= \frac {1} {\lambda_{2}}) \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{4} \neq 0: y=\lambda_{4} x \wedge \exists \lambda_{5} \neq 0: z=\lambda_{5} y \Rightarrow \exists \lambda_{hut} \neq 0: z= \lambda_{hut} x, (\lambda_{hut}=\lambda_{5} \lambda_{4}) \end{eqnarray*}$

Ist das so nun besser, oder wo hakts?

Zur Äquivalenzklasse:
$\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ heißt Äquivalenzklasse, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset x,y \in A \Rightarrow x \sim y x \in A, y \in X, x \sim y \Rightarrow y \in A \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt daraus ablesen kann ist, dass ich eine nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden muss, die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in disjunkte Teilmengen zerlegt (also entweder mein Element liegt in der Äquivalenzklasse, oder nicht), ist das soweit richtig?

Dann probier ich's mal:
$\begin{eqnarray*} [x]:=\left\{ y \in \mathbb R|y \sim x \right\} \end{eqnarray*}$
Ist das dann $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne 0?

Lg Tobi

27.04.2013, 11:31

watcher

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Zitat:

Dass die Äquivalenzrelation ziemlich langweilig ist, kann schon sein, aber um ein Gespür dafür zu entwickeln und damit umgehen zu können, darf man schonmal zu eben solchen Dingen greifen, oder nicht?!

Das war eine reine Feststellung, insbesondere im Zusammenhang mit der Frage wo Lambda lebt.

Zitat:

(i) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{1} \neq 0: x = \lambda_{1} x, (\lambda_{1} =1) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{2} \neq 0:y = \lambda_{2} x \Rightarrow \exists \lambda_{3} \neq 0:x = \lambda_{3} y, (\lambda_{3}= \frac {1} {\lambda_{2}}) \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{4} \neq 0: y=\lambda_{4} x \wedge \exists \lambda_{5} \neq 0: z=\lambda_{5} y \Rightarrow \exists \lambda_{hut} \neq 0: z= \lambda_{hut} x, (\lambda_{hut}=\lambda_{5} \lambda_{4}) \end{eqnarray*}$

Ist das so nun besser, oder wo hakts?

Ja, so kann man es stehen lassen.

Zitat:

Was ich bis jetzt daraus ablesen kann ist, dass ich eine nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden muss, die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in disjunkte Teilmengen zerlegt (also entweder mein Element liegt in der Äquivalenzklasse, oder nicht), ist das soweit richtig?

Wie soll eine Teilmenge die reellen Zahlen in disjunkte Teilmengen zerlegen? verwirrt

Die Menge aller Äquivalenzklassen ist eine disjunkte Zerlegung der ursprünglichen Menge (hier der reellen Zahlen)

Zitat:

Dann probier ich's mal:
$\begin{eqnarray*} [x]:=\left\{ y \in \mathbb R|y \sim x \right\} \end{eqnarray*}$
Ist das dann $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne 0?

Das ist eine Äquivalenzklasse. Denke an die disjunkte Zerlegung.

27.04.2013, 11:42

HammerTobi

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Zitat:

Die Menge aller Äquivalenzklassen ist eine disjunkte Zerlegung der ursprünglichen Menge (hier der reellen Zahlen)

Was ist dann die Äquivalenzklasse? Eine Menge, und das Element der Äquivalenzklasse kann nicht in X und in der Klasse liegen, deswegen disjunkt.?

Zitat:

Dann probier ich's mal:
$\begin{eqnarray*} [x]:=\left\{ y \in \mathbb R|y \sim x \right\} \end{eqnarray*}$
Ist das dann $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne 0?

Das ist eine Äquivalenzklasse. Denke an die disjunkte Zerlegung.

Aber noch nicht richtig?

Sorry, aber irgendwie finde ich grade nicht den richtigen Anschluss an die Thematik traurig

27.04.2013, 11:50

watcher

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Zitat:

Was ist dann die Äquivalenzklasse? Eine Menge, und das Element der Äquivalenzklasse kann nicht in X und in der Klasse liegen, deswegen disjunkt.?

Ich habe keinen blassen Schimmer was dieser Satz aussagen soll.

Jedes Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Alle Elemente einer ÄK sind äquivalent und nicht-äquivalent zu allen anderen.

Nimm dir ein Element schau welche dazu äquivalent sind. Das bildet die erste ÄK.
Nimm dir ein Element das dort nicht enthalten ist, usw.

Zitat:

Aber noch nicht richtig?

Wie gesagt: Das ist eine Äquivalenzklasse. Sie ist aber nicht die einzige.

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