Poisson-Verteilung in kombi mit bedingter Wahrscheinlichkeit

22.02.2007, 22:22

brunsi

Poisson-Verteilung in kombi mit bedingter Wahrscheinlichkeit

In einem Callcenter treffen erfahrungsgemäß werktags in der Zeit von 17-19 Uhr durchschnittlich 24 Anrufe ein. Die Anzahl Anrufe kann als Poisson-verteilt angesehen werden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Werktag

zwischen 17.15 und 17.45 Uhr maximal fünf Anrufe eingehen, wenn bekannt ist, dass zwischen 17.15 und 8.15 Uhr genau zehn Anrufe eingegangen sind? (Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45 Uhr unabhängig von der Anzahl der Anrufe zwischen 17.45 und 18.15 Uhr ist.)

Mein Ansatz:

Z: Intervall von 17.15 bis 17.45 Uhr
Y: Intervall von 17.15 bis 18.15 Uhr ist.

Die Wahrscheinlichkeit, die ich bestimmen soll ist:

$\begin{eqnarray*} P(Z\leq 5|X=10) \end{eqnarray*}$

Dazu müsste ich erst einmal den gegebenen Erwartungswert E(X) auf das neue Intervall I anpassen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_i\cdot E(X) \end{eqnarray*}$ .

Das wäre dann für das Intervall Y: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot 24=8 \end{eqnarray*}$ soweit richtig?
falls ja, wie mache ich dann weiter? muss ich dann für das Intervall Z auch noch den neuen Erwartungswert bestimmen und dann die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bzgl Z. aufsummieren und anschließend durch die Wahrscheinlichkeit, die sich bei Y ergibt teilen??

23.02.2007, 10:28

brunsi

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RE: Poisson-Verteilung in kombi mit bedingter Wahrscheinlichkeit
na aber hier komme ich nicht weiter!! fällt euch dazu nicht etwas ein?? Normalerweise ist die Bedingte Wahrscheinlichkeit ja, jetzt ganz einfach ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{Durchschnitt von A nd B}{Gesamt B} \end{eqnarray*}$

Dann wäre es auf mein Problem bezogen:

$\begin{eqnarray*} P(Z...|x=10)=\frac{"Summe" Durchschnitte von Z und X}{Gesamt X} \end{eqnarray*}$

Kann man das so verstehen?? wüsste sonst nicht wie ich es einfacher schreiben sollte ohne die ganten Formeln verwenden zu müssen?!

Doch mein Problem ist nun, da Ich intervalle habe und als einzige feste Größet den ErwartungswertE(X) allerdings auf das Intervall 17-19 Uhr bezogen.

Da jetzt in nach dem Intervall 17.15-17.45 gefragt ist. müsste ich doch hier erst einmal den erwartungswert für dieses intervall berechnen.

außerdem habe ich noch das Intervall 17.15-18.15 gegeben. Somit liegt das Intervall 17.15-17.45 in vorangegangenem, also müsste es doch den gleichen Erwatungswert haben wie das Intervall 17.15.18.15???

23.02.2007, 10:34

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Zitat:

Original von brunsi
Mein Ansatz:

Z: Intervall von 17.15 bis 17.45 Uhr
Y: Intervall von 17.15 bis 18.15 Uhr

Angesichts deiner nachfolgenden Ausführungen meinst du sicher

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall von 17.15 bis 18.15 Uhr

oder?

Der Witz ist, erstmal die Zeiträume zu trennen, damit man die Unabhängigkeit der Anzahlen der Anrufe in disjunkten Zeiträumen nutzen kann! Bei den Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegt noch keine Unabhängigkeit vor, da sich dort die Zeiträume offensichtlich überlappen - genauer: der eine Zeitraum ist ein Teil des anderen.

Wie trennt man nun die Zeiträume? Nun, indem man die Differenzzufallsgröße $\begin{eqnarray*} U:=X-Z \end{eqnarray*}$ betrachtet mit der Interpretation

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall von 17.45 bis 18.15 Uhr

Dann sind nämlich zumindest $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unabhängig und man kann drauflos rechnen.

23.02.2007, 11:52

brunsi

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ok, danke Arthur, das werd eih einmal versuchen!!

gruß brunsi

23.02.2007, 19:55

brunsi

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ich habe nun für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(x_1)=12 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall 17.15-18.15

dann ist der Erwartungswert für das Intervall $\begin{eqnarray*} E(X_2)=6 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall 17.15-17.45

Für die die Gesamtwahrscheinlichkeit P(X=10) gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X=10)=\frac{12^10\cdot e^{-12}}{10!} \end{eqnarray*}$

ist die soweit richtig??

23.02.2007, 20:16

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Das LaTeX noch etwas korrigiert stimmt das.

23.02.2007, 20:19

brunsi

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So und nun muss ich doch einfach nur die 6 für Z in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten bilden, da $\begin{eqnarray*} z\leq 5 \end{eqnarray*}$ ??

23.02.2007, 20:33

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Bauen wir mal darauf auf

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall 17.15-18.15
$\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall 17.15-17.45

und ergänzen

$\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ : Anzahl Anrufe im Intervall 17.45-18.15

Dann ist $\begin{eqnarray*} X_1=X_2+X_3 \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen ist

$\begin{eqnarray*} P(X_2\leq 5 \bigm| X_1=10) = \frac{P(X_2\leq 5,X_1=10)}{P(X_1=10)} \end{eqnarray*}$ .

Den Nenner hast du gerade berechnet, gut. Nun zum Zähler:

Das Ereignis $\begin{eqnarray*} X_2\leq 5 \end{eqnarray*}$ kann man zerlegen in die Einzelfälle $\begin{eqnarray*} X_2=0,1,\ldots,5 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} P(X_2\leq 5,X_1=10) = \sum_{k=0}^5 ~ P(X_2=k,X_1=10)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Nun sind $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig, wohl aber $\begin{eqnarray*} X_2,X_3 \end{eqnarray*}$ , hab ich oben schon erwähnt. Damit kann man rechnen

$\begin{eqnarray*} P(X_2=k,X_1=10) &=& P(X_2=k,X_2+X_3=10) = P(X_2=k,X_3=10-X_2)\\ &\stackrel{!}{=}& P(X_2=k,X_3=10-k) = P(X_2=k)\cdot P(X_3=10-k) \end{eqnarray*}$

Letztere Gleichheit gilt wegen der angesprochenen Unabhängigkeit. Jetzt in Summe (*) einsetzen und ausrechnen.

EDIT: Ich hatte mich verlesen, und erst 6 statt 5 gelesen. Bei 5 geht es eigentlich auch einfacher, aus Symmetriegründen. Aber verkehrt ist der Weg hier nicht, da lernst du vielleicht was für ähnliche Fälle ohne Symmetrievorteile. Augenzwinkern

23.02.2007, 20:44

brunsi

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vielen dank,

so etwas hat man uns niemals gezeigt. finde ich ein wenig traurig, aber nun gut, lässt sich nun nach vorlesungsende auch nciht mehr ändern, obwohl ich meinen Dozenten darauf hingewiesen hatte uns Umformungsschritte genau zu erläutern, aber darauf ist er überhaupt nicht eingegangen traurig

Danke Arthur.

Gruß Dennis

23.02.2007, 22:11

brunsi

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Irgendwie hab ichs nicht so mit dem ausmultiplizieren. bei mir kommt für die Summe des Zählers: 0,116918308 heraus. das ist aber zu viel denn dann wäre die Bedingte Wahrscheinlichkeit über dem Wert 1, was überhaupt nicht angehen kann.

kannst du mir sagen, wie viel im Zähler rauskommen soll?, dann kann ichs noche inmal nachrechnen und schauen, wo ich meinen Fehler habe!!

gruß Dennis

23.02.2007, 22:25

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Also wenn du richtig rechnest, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} P(X_2\leq 5 \bigm| X_1=10) = \frac{\sum\limits_{k=0}^5 \frac{6^k}{k!}e^{-6} \cdot \frac{6^{10-k}}{(10-k)!}e^{-6}} {\frac{12^{10}}{10!}e^{-12}} = \frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^5 \binom{10}{k} \end{eqnarray*}$

24.02.2007, 10:54

brunsi

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ja das steht bei mir auch in zähler und nenner, dann kann es nur so sein, dass mein taschenrechner nicht die punkt vor strich regelung behrzigt und ich alle ausdrücke in extra klammern setzen muss

aber vielen dank!!

das müsste dann jetzt 0,6320 im zähler ergeben!!

24.02.2007, 11:03

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Ja, exakt ohne jede Rundung sind es $\begin{eqnarray*} \frac{319}{512} \end{eqnarray*}$ . Nicht nur im Zähler, sondern als Gesamtergebnis der bedingten Wahrscheinlichkeit.

24.02.2007, 11:12

brunsi

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danke, das ich wohl nach deinem ersten Zipp nichta ufs ergebnis gekommen bin, lag daran, dass ich zu wenig klammern in meinen taschenrechner eingegben hatte und dann eben ein falsches ergebnis herausbekam.

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