Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen

27.04.2013, 12:24	Mary54	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Meine Frage: Eine Person füttert einen Schwarm aus m Vögeln mit Brotkrumen. Wird ein Stück geworfen, so fängt es jeweils rein zufällig einer der Vögel, unabhängig von dem Ausgang der anderen Fütterungsvorgänge. Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit, dass nach n>m Fütterungseinheiten jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen hat, beträgt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=o}^m (-1)^j\begin{pmatrix} m \\ j \ \end{pmatrix} (1-\frac{j}{m} )^n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hi! Tue mich leider immer recht schwer mit Kombinatorik Aufgaben dieser Art, obwohl sie glaub ich letztendlich gar nicht so schwer sind. Also ich weiß die verschiedenen Ereignisse sind binomialverteilt. Die allgemeine Verteilungsfunktion der Binomialverteilung kenne ich auch und diese ist ja schon sehr ähnlich zu der Aufgabe, doch wie löse ich das Problem jetzt mathematisch korrekt? Und woher kommt die (-1)^j am Anfang? Bitte um Hilfe! Liebe Grüße
27.04.2013, 16:00	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Gegenwahrscheinlichkeit + Siebformel
27.04.2013, 16:17	Mary54	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Hallo Huggy, danke für den Tipp. Aber bei der Gegenwahrscheinlichkeit habe ich genau das gleiche Problem, dass ich nicht weiß, wie die herauszufinden ist. Kannst du mir vielleicht noch ein bisschen mehr helfen?
27.04.2013, 16:20	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Das war der zweite Teil meiner Antwort. Die kannst du mit der Siebformel berechnen. Kennst du die?
27.04.2013, 16:26	Mary54	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Ja die kenn ich. Sie lautet: $\begin{eqnarray} P(\bigcup A_{i} )=\sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum\limits_{k=1}^n P(\bigcap A_{i}) \end{eqnarray*}$ und die wende ich jetzt einfach auf die gegebene Formel an?
27.04.2013, 16:29	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Nein, umgekehrt! Durch Anwendung der Siebformel kommst du auf die zu beweisende Formel.
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27.04.2013, 17:15	Mary54	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Aber ich brauch doch die Wahrscheinlichkeit des Gegenerignisses, um die Siebformel anzuwenden?
27.04.2013, 17:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit jeder Vogel mindestens ein Stück gefressen Also mal im Detail: Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Vogel mindestens ein Stück bekommen hat, ist gleich 1 - der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Vogel kein Stück bekommen hat. Nun sei $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ die Ereignismenge, bei der der Vogel Nr. i kein Stück abbekommen hat. Dann ist die Ereignismenge, bei der mindestens ein Vogel kein Stück abbekommen hat, gegeben durch $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^m A_i \end{eqnarray}$ Jetzt sollte die Sache hoffentlich klar sein. Die vorangestellte 1 lässt sich noch in die Ergebnissumme integrieren, indem man diese bei j = 0 statt bei j =1 beginnen lässt. Dir ist aber hoffentlich klar, dass man das, was du oben hingeschrieben hast, nur aus 100 m Entfernung für die Siebformel halten kann.

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