Rotationsaufgabe Integral - Fläche berechnen

27.04.2013, 14:16

Tipso

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Rotationsaufgabe Integral - Fläche berechnen

Hallo,

Zitat:

Im Punkt P(5 / y1) des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$ wird die Tangente t gelegt.Das Flächenstück, das zwischen f, t und den Koordinatenachsen liegt, rotiert um die x-Achse.Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Lösungsweg:

Wo bzw. Was ist meine Grenze f und t?

Ich würde zuerst den Punkt in die Funktion einsetzen um dessen y-Wert zu erhalten.
Leite ab und setze nochmal den x-Wert ein um dessen k-Wert zu erhalten.
Daraufhin berechne ich den d-Wert und habe die Funktion von meiner Tangente.

Jetzt setze ich meine Funktionen gleich um dessen Schnittpunkte zu berechnen?
Oder wie erhalte ich die Grenzen f und t?

lg

27.04.2013, 16:05

Dopap

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so schaut es aus.

27.04.2013, 16:33

Tipso

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Wie sieht mein Vorgang aus? verwirrt

verwirrt

Laut Skizze fängt meine Grenze erst bei 2 an.
verwirrt

verwirrt

Ich bin mir jetzt auch unsicher darüber, welche Fläche gesucht ist.
Sicher scheint mir, dass ich die Fläche unter der Tangente von meiner Funktion abziehe, es hätte ja auch umgekehrt sein können, wenn die Fläche unter der Tangente über der Fläche der Funktion stehen würde.

lg

27.04.2013, 16:48

Tipso

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Ich versuche, soweit es geht zu rechnen.
$\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(5)=\frac{1}{5} *x^2+1= 6 \end{eqnarray*}$

y = m*x+d

6 = m*5+d
----------------------
$\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : y'=\frac{1}{5} *2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(5)=\frac{1}{5} *2x=2 \end{eqnarray*}$

Notation wäre mir hier wichtig, da ich diese hier nicht weiß. (richtige Notation).
------------------------------------
y = m*x+d

6 = 2*5+d

d = -4

y = 2x-4 ist die Funktion meiner Tangente.
----------------------------------------------------------

Da die Fläche von meiner Funktion größer ist als die der Tangente, ziehe ich die Tangente von der Funktion ab. Wie lässt sich dies rechnerisch beweisen?

Wo sind meine Grenzen? 0 bis 6 - Warum?

$\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right) \, dx - \pi \int_a^b \! left(\frac{1}{5} *2x\\right) \, dx \end{eqnarray*}$

Ps.
Muss leider offline gehen und bin in 1h wieder zurück.

28.04.2013, 01:06

Tipso

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Soweit müsste es doch richtig sein verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 01:19

Dopap

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das Rotationsvolumen wie gefordert besteht aus 2 Teilen:

1.) der rotierende Teil zwischen x=0 und x=2 bezüglich der Funktion f .

2.) danach addiert sich der rotierte Teil zwischen f und der Tangente von x=2 bis x=5

ist das anschaulich klar ?

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28.04.2013, 01:32

Tipso

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Ich verstehe was du meinst, einerseits Volumen von der Funktion und daraufhin erst addieren mit dem Volumen von der Funktion - Volumen von Tangente also dem Volumen dazwischen.

Warum?
Ich kann es aus dem Text nicht herauslesen.

lg

28.04.2013, 01:41

Dopap

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nun es ist klar , dass für x=0 bis x=2 die "untere" Funktion y=0 ist.

das lässt man dann immer weg.

28.04.2013, 01:58

Tipso

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warum?

Ich habe es von -4 weg berechnet, wir können die funktionen ja um 4 hinaufschieben verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 02:17

Dopap

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wenn du ein Integral hast, sagen wir mal

$\begin{eqnarray*} A=\int_3^5 3x^2 +1 \, \dd x \end{eqnarray*}$ dann ist der Integrand = 3x^2 +1 immer von Null ausgehend.

Von was soll er sonst "ausgehend" sein.

du rechnest einfach $\begin{eqnarray*} A= \left[x^3+x +c\right]_3^5 \end{eqnarray*}$ aus.

28.04.2013, 02:34

Tipso

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Zitat:

das zwischen f, t und den Koordinatenachsen liegt, rotiert um die x-Achse.Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

Verstehe es immer noch nicht, ich hätte von 0 bis 5 gerechnet und nicht von 0 bis 2 und daraufhin erst 2 bis 5.

Ich berechne es, so wie es richtig ist.

............
1. Teil
$\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_1:\pi \int_0^2 \!\left(\frac{1}{5} *x^2+1\right)^2 \, dx = 0,04x^4 + 1\left[0,004 \frac{x^5}{5} + x\right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

Notation wäre mir hier wichtig.

Zitat:

Da die Fläche von meiner Funktion größer ist als die der Tangente, ziehe ich die Tangente von der Funktion ab. Wie lässt sich dies rechnerisch beweisen?

28.04.2013, 03:14

Dopap

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das Quadrat einer Summe ist nicht das Quadrat der Summanden.

Schön mal gehört ? Ja, von mir schon ausführlich.

Erster Volumenteil: (quasi der Sockel )

$\begin{eqnarray*} V_1=\pi \int_0^2\, (\frac 15 x^2 +1)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

Integrand erst ausquadrieren dann aufleiten (*hust*) ... sorry ... eine Stammfunktion bilden.

28.04.2013, 03:29

Tipso

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Binomische Formel verwirrt

verwirrt

Warum ?

$\begin{eqnarray*} V_1=\pi \int_0^2\, (\frac 15 x^2 +1)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_1=\pi \int_0^2\, \frac 15 x^4 +0,4x^2+1 \, \dd x=\left[\frac{x^5}{5}+ 0,4 \frac{x^3}{3}+x \right]_{0}^{2} = 9,46 \end{eqnarray*}$

28.04.2013, 15:19

Tipso

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Ich verstehe immer noch nicht, warum wir beide Funktionen nicht einfach um 4 auf der y-Achse nach oben verschieben?

lg

28.04.2013, 22:57

Dopap

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das ist doch nicht begründbar.

Durch eine Verschiebung in y-Richtung entsteht doch ein vollkommen neuer Drehkörper.

Stell die mal vor, ein Töpfer mit Drehscheibe dreht gerade eine solche "Vase".

und jetzt kommst du daher und verschiebst ihm den Drehmittelpunkt = Symmetrieachse um 4 nach aussen.

Was sollte dabei entstehen verwirrt

verwirrt

und was hätte das mit dem alten Volumen zu tun ?

29.04.2013, 03:04

Tipso

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Hallo,

Freude

Bei Flächenberechnungen zwischen zwei körpern machen wir es ja auch so, ich dachte bei Volumen zwischen zwei Volumen, wird es genauso gemacht. verwirrt

verwirrt

29.04.2013, 03:15

Dopap

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wenn du die Fläche zwischen 2 Kurven suchst, dann kannst du die selbstredend beide simultan hoch und runterschieben. Das ändert ja nix an der Differenzfunktion

Das geht aber nicht bei der Rotation um die x- achse.

29.04.2013, 03:26

Tipso

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Achso, also dies funktioniert bei Flächen zwischen zwei kurven und rotationen zwischen zwei kurven aber nicht bei rotation um die x oder y-Achse.

Ich versuche die Aufgabe zu beenden, einen Teil des Volumens habe ich ja schon.

Wichtig wäre mir hier natürlich auch die Notation.

29.04.2013, 03:33

Tipso

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$\begin{eqnarray*} V_1=\pi \int_0^2\, (\frac 15 x^2 +1)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_1=\pi \int_0^2\, \frac 15 x^4 +0,4x^2+1 \, \dd x=\left[\frac{x^5}{5}+ 0,4 \frac{x^3}{3}+x \right]_{0}^{2} = 9,46 \end{eqnarray*}$
---------------

$\begin{eqnarray*} V_2 = \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right) \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *2x\right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Sind meine Grenzen richtig?
Warum nur bis 5? Es ist der Schnittp. der beiden Funktionen.?

--------------

$\begin{eqnarray*} V_g = V_1 + V_2 \end{eqnarray*}$

Zu V_2, bei Flächen oder Volumensberechnungen zwischen zwei Flächen bzw. Volumen, rechne ich immer die obere minus die untere Fläche, Volumen. In diesem Beispiel ist das Volumen der Tangente das größere und auch obere Volumen also wird davon das Volumen der Funktion abgezogen.

Ist meine Annahme richtig?

29.04.2013, 03:40

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} V_2 = \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right) \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *2x\right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Sind meine Grenzen richtig?
Warum nur bis 5? Es ist der Schnittp. der beiden Funktionen.?

ja.

v_2: das grössere Volumen ist aber die Rotation der Parabel.

du solltest nur

1.) den Funktionsterm der Parabel quadrieren ( vergessen ? )
2.) die richtige Tangentenfunktion einsetzen

29.04.2013, 03:49

Tipso

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Quadrat wurde vergessen. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} V_2 = \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right)^2 \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\ 2x-4 \right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Offen bleiben noch meine Grenzen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t(5)=\frac{1}{5} *x^2+1= 6 \end{eqnarray*}$
y = m*x+d6 = m*5+d
----------------------
$\begin{eqnarray*} f : y=\frac{1}{5} *x^2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f : y'=\frac{1}{5} *2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(5)=\frac{1}{5} *2x=2 \end{eqnarray*}$
Notation wäre mir hier wichtig, da ich diese hier nicht weiß. (richtige Notation).
------------------------------------
y = m*x+d6 = 2*5+dd = -4y = 2x-4 ist die Funktion meiner Tangente.

29.04.2013, 18:44

Dopap

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jetzt sieht das schon besser aus.

Nur, wenn ich mir das Bild nochmal anschaue, dann ist eine Aufteilung in 2 Volumen = 3 Integrale nicht zwingend notwendig.

Es geht auch so: V_g= Drehvolumen der Parabel - Drehvolumen der Tangente:

$\begin{eqnarray*} V_g=\pi \int_{{\color{red}0}}^5\, f(x)^2 \dd x - \pi \int_2^5\, t(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

----------------

und rechne die Stammfunktionen nochmal sauber durch. Zur Not einfach die Probe mittels Ableitung machen.

29.04.2013, 22:10

Tipso

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Warum zwischen den jeweiligen Grenzen? 0 - 5?

Warum nicht darüber hinaus?
--------------------------------------

Es wäre natürlich in diesem Fall auch nicht falsch, zuerst zwischen den Grenzen 0 bis 2 der Parabel und daraufhin Parabel - Tangente (Volumen).

---------------------------------------

$\begin{eqnarray*} V_g=\pi \int_{{0}}^5\, f(x)^2 \dd x - \pi \int_2^5\, t(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = \pi \int_0^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right)^2 \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\frac{1}{5} *2x\right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = \pi \int_0^5 \! \frac{1}{25}x^4 + \frac{2}{5}x^2 + 1\, dx - \pi \int_2^5 \! \frac{1}{25}4x^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir bei der Notation unsicher:

$\begin{eqnarray*} V_g = \left[\frac{x^5}{125} + \frac{2x^3}{15} + x\right]_{0}^{5} - \left[\frac{4x^3}{75} \right]_{2}^{5} \end{eqnarray*}$

----------------

29.04.2013, 22:25

Dopap

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$\begin{eqnarray*} V_g = \pi \int_0^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right)^2 \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\underbrace {\frac{1}{5} *2x}_{\text{Tangente ?}}\right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

falsche Tangentengleichung.

Die Notation ist in Ordnung, den Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht vergessen!

29.04.2013, 22:37

Tipso

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$\begin{eqnarray*} V_g=\pi \int_{{0}}^5\, f(x)^2 \dd x - \pi \int_2^5\, t(x)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = \pi \int_0^5 \! \left(\frac{1}{5} *x^2+1\right)^2 \, dx - \pi \int_2^5 \! \left(\ 2x-4 \right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = \pi \int_0^5 \! \frac{1}{25}x^4 + \frac{2}{5}x^2 + 1\, dx - \pi \int_2^5 \! 4x^2 - 16x + 16 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = \left[\frac{x^5}{125} + \frac{2x^3}{15} + x\right]_{0}^{5} - \left[\frac{4x^3}{3}-8x^2 + 16x \right]_{2}^{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_g = 46\frac{2}{3} - (46\frac{2}{3}- 10\frac{2}{3}) = 10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

30.04.2013, 17:24

Tipso

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$\begin{eqnarray*} V_g = \pi 46\frac{2}{3} - \pi (46\frac{2}{3}- 10\frac{2}{3}) = \pi 10\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste die Aufgabe richtig und erledigt sein. Freude

Freude

30.04.2013, 17:40

Dopap

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genau so ist es Freude

Freude

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