Zentrum GLn(K) und SLn(K) bestimmen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum GLn(K) und SLn(K) bestimmen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich möchte gerne, dass Zentrum der GLn(K) und der SLn(K) bestimmen.

wobei für das Zentrum gilt: also alle Matrizen die mit allen anderen kommutieren.

Sicherlich ist die Einheitsmatrix drin (trivial).Auch alle vielfachen von ihr, denn:


aus Wikipedia konnte ich rauslesen, dass das auch schon alle sind.. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das begründen soll?

Meine Ideen:
kann mir jemand helfen? Danke!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was du rausgelesen hast ist richtig.
Hier können Elementarmatrizen nützlich sein.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Danke für den Tipp, ich konnte mittels Elementarmatrizen zeigen, dass die Einträge für . Und mit den Permutationsmatrizen sieht man dann auch, dass die Einträge auf der Diagonalen alle gleich sein müssen.

Was ändert sich denn bei ??
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ändert sich denn bei ??

Keine Ahnung. Vielleicht mal schauen welche Elementarmatrizen in der speziellen Gruppe liegen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab mir nun noch ein paar Gedanken dazu gemacht.

Ich hab in Wiki gelesen:

"Um eine Aussage für alle invertierbaren Matrizen zu beweisen, genügen die folgenden zwei Punkte:

Sie gilt für Elementarmatrizen.
Gilt sie für Matrizen A und B, so gilt sie auch für ihr Produkt AB"

daher reicht es auch, sich zunächst mal Elementarmatrizen anzusehen.. Da ich ja jede Matrix als Produkt von Elementarmarizen darstellen kann.

So nun fehlte ja noch das Zentrum für . Da Untergruppe ist kann das Zetrum nun nicht größer werden.

Es müssen demnach alle vielfachen der Einheitsmatrix sein, dessen Determinante 1 ist. Also etwa:

passt so oder?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
So nun fehlte ja noch das Zentrum für . Da Untergruppe ist kann das Zetrum nun nicht größer werden.
?


Das exakte gegenteil davon ist wahr.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich jetzt nicht.

Die ist eine Untergruppe von Wie kann dann das Zentrum von dann größer werden??
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Das wiederrum verstehe ich nicht. Wie soll es denn kleiner werden???


Es ist z.B. jeder 3-elementige Untergruppe ist aber abelsch und damit ihr eigenes Zentrum.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielleicht waren die Überlegungen nicht so korrekt, aber wenn man das Spiel mit der Elementarmatrizen wieder macht und den Permutationsmatrizen (also die mit det(P) = 1 ) dann kommt man wieder auf die vielfachen der Einheitsmatrix, und davon jetzt eben nur die mit Determinante 1.

Also:

oder was bekommst du raus?
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