Umkehrfunktion bestimmen

27.04.2013, 18:04	iKlops	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bestimmen Meine Frage: Hi. Ich weiß zwar nicht, ob ich hier auch Aufgaben aus der Uni posten kann, aber einen Versuch ist's ja wert ^^. Also, ich soll laut Aufgabe für folgende Funktion f (x) = 1 + ((Wurzel x) / (Wurzel x)+1) , x >= 0 eine Umkehrfunktion ermitteln. Meine Ideen: Dass ich zunächst nach x auflösen und dann x und y vertauschen muss, ist mir soweit klar. Allerdings bekomme ich's einfach nicht hin, die Gleichung nach x aufzulösen. Ich hab auch schon versucht, die Umkehrfunktion zuerst aufzuzeichnen und dann die zugehörige Funktion zu bestimmen, aber da ich nur die Werte für y >= 0 hab, bin ich auch hier nicht sehr weit gekommen. Also wäre echt nett, wenn mir hier jemand ein wenig aushelfen könnte
27.04.2013, 20:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst also: $\begin{eqnarray} f(x)=1+\frac {\sqrt x}{1+\sqrt x } \qquad x\geq 0 \end{eqnarray}$
28.04.2013, 00:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na ja, mein Taschenrechner meint: $\begin{eqnarray} x=\frac {(y-1)^2}{(y-2)^2} \end{eqnarray}$ allerdings kann ich dessen Rechnung auch nicht nachvollziehen, aber schaun wir mal. [/quote] das sieht aber zunächst schräg aus. Da die Wertemenge $\begin{eqnarray} 1\leq y \leq 2 \end{eqnarray}$ war, ist das nun die Definitionsmenge. das sieht doch schon besser aus , mehr kann ich dir leider nicht anbieten.
28.04.2013, 01:47	iKlops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss zwar noch an dem Rechenweg rumknobeln, aber da ich die Umkehrfunktion nun kenne, sollte das wohl etwas leichter sein. Dankeschön
28.04.2013, 02:22	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = 1 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} - 1} = \frac{4x - 1}{2x + \sqrt{x} - 1 } \end{eqnarray}$ . Setze nun $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} y \cdot \left(2x + \sqrt{x} - 1\right) = 4x - 1 \end{eqnarray}$ Nach einigen Umformungsschritten erhält man $\begin{eqnarray} 2xy - y - 4x + 1 = -y\sqrt{x} \end{eqnarray}$

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