Kleinster Abstand Gerade - Gerade

27.04.2013, 20:16

Kleinster Abstand Gerade - Gerade

Ich rechne gerade Abituraufgaben weil ich Montag Prüfung schreibe o.o
Und ich hänge bei folgender Aufgabe:

Ich habe folgende Geraden und Ebenen gegeben bzw. aus vorigen Aufgaben berechnet.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1: 8x+11y+7z=-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2: x-2y+2z=1 \end{eqnarray*}$

Dazu weiß ich folgendes aus den Aufgaben zuvor:

1. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sind windschief

2. $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und ist somit Schnittgerade der 2 Ebenen

4. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist parallel zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$
______________________________________

Unter allen Punkten der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein Paar von Punkten $\begin{eqnarray*} Q \in g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \in h \end{eqnarray*}$ , für welches die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} QR \end{eqnarray*}$ minimal ist.
Begründen Sie, dass die Länge dieser Strecke gleich dem Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ von
der Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ ist und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .

Der Punkt $\begin{eqnarray*} T(3/5/-5) \end{eqnarray*}$ liegt auf g. Ich sollte den Abstand von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ berechnen.
Der Abstand ist $\begin{eqnarray*} d=6 \end{eqnarray*}$ .

________________________________________
Die Begründung würde ich sagen: Der Abstand $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ ist 6. Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ parallel sind kann der kleinste Abstand nur 6 sein. Da $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ liegt, gibt es 2 Punkte $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die nur den kleinsten Abstand 6 haben können.

Aber wie berechne ich Q?

Ich hatte erst die Idee: $\begin{eqnarray*} Q(3/5+r/-5+r) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(1-4s/-1+s/-1+3s) \end{eqnarray*}$

Und dann muss ja $\begin{eqnarray*} |\vec{QR}|=6 \end{eqnarray*}$ sein.
Aber da komm ich net weiter, weil ich dann eine quadratische Gleichung mit 2 Unbekannten bekomme :/

Weiß jemand wie ich Q ausrechnen kann.

27.04.2013, 20:39

Dopap

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das ist logisch ein wenig verklausuliert. Es gibt doch 2 Dinge die abzuarbeiten sind:

1.)

berechne den Abstand der windschiefen Geraden, samt Lotfusspunkte Q R

ende von Teil 1.)

2.) zufällig soll der Abstand $\begin{eqnarray*} T\in g \quad , \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ gleich gross sein. Das kann man nachprüfen.

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zu 1.) sei

$\begin{eqnarray*} g: \vec x = \vec a + r \vec u<br /> h: \vec x = \vec b + s \vec v \end{eqnarray*}$

und nun geschlossener Vektorzug:

$\begin{eqnarray*} \vec a + r\vec u + t \vec n - \vec b - s \vec v = \vec 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ = Normalenvektor zu $\begin{eqnarray*} \vec u, \vec v \end{eqnarray*}$

ergibt ein LGS in r,s,t.

r und s führen dich zu den Lotfusspunkten

27.04.2013, 23:33

Bjoern1982

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@ Yu

Du hast oben beim Richtungsvektor deiner Geraden g einen Vorzeichenfehler.

Dein Ansatz mit deinem allgemeinen Vektor QR ist schonmal ganz gut.
Du brauchst dann auch nicht wie von Dopap vorgeschlagen eine ganze Vektorkette und noch mehr Unbekannte, sondern kannst hier deine Vorarbeit mit dem korrekten Abstand d=6 auch dahingehend nutzen, dass du einfach den Normalenvektor von E2 an diese Länge anpasst und dann mit dem Vektor QR gleichsetzt.

Und falls nur die beiden Fußpunkte Q und R interessieren, kann man auch unabhängig vom Abstand ausnutzen, dass der Vektor QR sowohl senkrecht zum Richtungsvektor von g, also auch senkrecht zum Richtungsvektor von h steht (Skalarprodukt benutzen). Dadurch entsteht ein LGS mit ledglich 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

27.04.2013, 23:50

Dopap

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@Björn1982 : natürlich richtig.

Mein Anliegen ist nicht immer der eleganteste Weg, der dann hinterher in den Lösungsbüchern steht und auch im Stress der (Prüfungs)- Situation oft nicht erkannt wird.
Dazu gehört auch auch eine sehr solide Vorstellungskraft der räumlichen Tatsachen.
Deshalb Plan B der auch zum Ziel führt smile

So jedenfalls meine Ratschläge an meine Probanden Augenzwinkern

28.04.2013, 10:11

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Du hast oben beim Richtungsvektor deiner Geraden g einen Vorzeichenfehler.

Oh danke ja der wird gleich behoben.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Und falls nur die beiden Fußpunkte Q und R interessieren, kann man auch unabhängig vom Abstand ausnutzen, dass der Vektor QR sowohl senkrecht zum Richtungsvektor von g, also auch senkrecht zum Richtungsvektor von h steht (Skalarprodukt benutzen). Dadurch entsteht ein LGS mit ledglich 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

Achso ja na klar.

Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

So oder?

28.04.2013, 10:40

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+4s \\ 6-s+r \\ -4-3s+r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=2-4s+2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+4s \\ 6-s+r \\ -4-3s+r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-14-26s+4r \end{eqnarray*}$

_________________________

1.
$\begin{eqnarray*} 0=2-4s+2r \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} 0=-14-26s+4r \end{eqnarray*}$

aus 1.
$\begin{eqnarray*} r=2s-1 \end{eqnarray*}$

1. in 2.
$\begin{eqnarray*} 14=8s-4-26s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 18=-18s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=-1 \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} r=-3 \end{eqnarray*}$

Nun sind die Punkte jetzt: $\begin{eqnarray*} P(5/-2/-4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(3/2/-8) \end{eqnarray*}$

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