Mehrdimensionale Kettenregel

27.04.2013, 21:16	Skalarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Kettenregel Hi, ich versuche gerade eine Aufgabe zum Laplace Operator nachzuvollziehen, komme aber leider bei einem Schritt nicht weiter: Sei f eine zweimal stetig partiell diffbare Funktion und $\begin{eqnarray} g(r,\phi):=f(r cos(\phi), r sin(\phi)) \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}<br /> \end{eqnarray}$ Nun möchte ich g zweimal nach x ableiten. Hierbei erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{\partial ^2 g}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\frac{\partial \phi}{\partial x}=<br /> =\frac{\partial ^2 g}{\partial r^2}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2+\frac{\partial ^2 g}{\partial r \partial\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial ^2 g}{\partial \phi \partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2<br /> \end{eqnarray}$ Lt. Musterlösung fehlen aber noch zwei Summanden: $\begin{eqnarray} \frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial ^2 r}{\partial x^2}+\frac{\partial g}{\partial \phi}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären woher diese Summanden kommen und warum sie bei meinem Ansatz verloren gehen??
28.04.2013, 12:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kettenregel Da ist dir ein subtiler Fehler unterlaufen. Es ist $\begin{eqnarray} \frac {\partial^2 g}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\left ( \frac {\partial g}{\partial r} \frac {\partial r}{\partial x}+ \frac {\partial g}{\partial \phi} \frac {\partial \phi}{\partial x} \right ) \end{eqnarray}$ Wenn du nun erst nach der Summen- und Produktregel ableitest, hast du $\begin{eqnarray} \frac {\partial^2 g}{\partial x^2}=\frac {\partial}{\partial x}\left ( \frac {\partial g}{\partial r} \right ) \frac{\partial r}{\partial x}+\frac {\partial g}{\partial r} \frac {\partial^2 r}{\partial x^2}+\frac {\partial}{\partial x}\left ( \frac {\partial g}{\partial \Phi} \right ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}+\frac {\partial g}{\partial \Phi} \frac {\partial^2 \Phi}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ Jetzt sind die fehlende Termen da und die verbleibenden partiellen Ableitungen nach x können nach der Kettenregel ausgeführt werden. Du hast versucht, gleich die Kettenregel anzuwenden. Das führt zu dem Problem, das du versuchst, auch Terme bezüglicn x nach der Kettenregel abzuleiten, die explizit von x und y abhängen und nicht implizit über r und $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ .
28.04.2013, 13:48	Skalarus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kettenregel Jetzt ist es klar. Dankeschön

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