Beweis zur Diagonalisierbarkeit

27.04.2013, 22:13	Diam	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Diagonalisierbarkeit Meine Frage: Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus von V, dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie, dass die beiden Aussagen äquivalent sind: a)Der Endomorphismus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist diagonalisierbar. b) Jeder Untervektorraum von V hat ein $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ -invariantes Komplement. Meine Ideen: Also zunächst versteh ich nicht, was ein $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ -invariantes Komplement sein soll. Wie hab ich mir das vorzustellen? Was Invarianz ist, weiß ich soweit, das heißt ja z.B. für eine Teilmenge B aus V, dass $\begin{eqnarray} \phi(A) \subseteq A \end{eqnarray}$ . Nur das mit dem Komplement verwirrt mich und wie ich das mit der Diagonalisierbarkeit in Verbindung bringe. Eine Voraussetzung hierfür steht ja schon in der Aufgabenstellung. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
27.04.2013, 22:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Komplent zu $\begin{eqnarray} U \subset V \end{eqnarray}$ ist ein weiterer UVR $\begin{eqnarray} W \subset V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U \oplus W = V \end{eqnarray}$ . Dann zum Beweis: Die Rückrichtung schreit ja geradezu nach Induktion über die Dimension. Zur Hinrichtung: Das folgt aus einer allgemeineren Tatsache: Man kann nicht nur jede Basis eines Unterraums zu einer Basis fortsetzen, sondern es gilt die stärkere Aussage: Ist eine Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ vorgegeben, so kann man zu jedem Unterraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eine Teilmenge $\begin{eqnarray} B' \subset B \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} U \oplus span(B') = V \end{eqnarray}$ . Das ist natürlich hinrechend, weil für $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine Basis aus Eigenvektoren nehmen können. $\begin{eqnarray} span(B') \end{eqnarray}$ ist dann sicher invariant. Dies kann z.b. mit Induktion nach $\begin{eqnarray} \dim V - \dim U \end{eqnarray}$ zeigen. Mit dem Lemma von Zorn müsste das dann sogar auch für beliebige Vektorräume gehen, aber das tut ja hier nichts zur Sache.

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