Teilerfremdheit |
| 28.04.2013, 11:47 | rockit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Teilerfremdheit Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. R Integritätsring, R kein Körper, a Element R ohne 0 , a keine Einheit zz.: a und sind teilerfremd Ich weiss: - R[t] Intring, weil R Intring - Ich habe erst angenommen, dass es einen ggT(a,t)=d gibt, mit d ungleich 1. Aber es lediglich geschafft zu folgern, dass dann deg(d)=0 gilt. Es wird ja irgendwie darauf hinauslaufen, dass es daran scheitert, dass a keine Einheit ist, aber ich finde nicht den Weg dahin. Über Hilfe würde ich mich freuen. Grüße |
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| 28.04.2013, 12:35 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bist eigentlich schon fast fertig. Es gilt , also mit . muss Grad haben, also . Setze das nun ein und du erhältst das Gewünschte. PS: Da es während des Beweis nicht wirklich explizit vorkommt, kannst du ja mal überlegen wo due Nullteilerfreiheit eingeht. Dass kein Körper ist, ist übrigens egal. Für Körper gilt das auch. Ist dann aber trivial, da eben der letzte Argumentationsschritt gar nicht mehr nötig ist. |
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| 28.04.2013, 12:57 | rockit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo & danke für deine Antwort!
Die Nullteilerfreiheit geht beim Auseinanderziehen der Grade mitein, richtig? Weil dc könnte ja 0 sein, dann wäre deg(dc)=-oo, aber d und c ungleich 0 und somit deg(c)+deg(d) größer gleich 0. Sprich hier benötigen wir Nullteilerfreiheit.
Wahrscheinlich sehe ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber in was denn einsetzen? Ich muss ja das a irgendwie reinkriegen, aber in md=a (m aus R) habe ich das c nicht und wenn ich es in cd=t einsetze, bringt es mich ja zu keinem Widerspruch. Auch wenn ich at=md*cd betrachte, sehe ich nicht wie mich das zum Widerspruch führt. 
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| 28.04.2013, 13:00 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, dies zeigt dir sofort, dass eine Einheit sein muss. |
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| 28.04.2013, 13:15 | rockit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, das sehe ich nun auch. Weil man durch Koeffizientenvergleich dann erhält, dass gelten muss. Jetzt muss ich nur noch darauf kommen, dass dann a auch eine Einheit wäre, richtig? Weil dass d eine Einheit ist, bricht ja keine Voraussetzung. Jetzt habe ich aber wieder das Problem, dass ich nicht sehe mit welcher Gleichung ich zum Ziel komme. >.< Ich sehe in weder dass a=0 ist oder eine Einheit wäre. |
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| 28.04.2013, 13:32 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass d eine Einheit ist, war doch genau das zu zeigende. |
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| 28.04.2013, 13:50 | rockit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht.
Ich will doch zeigen, dass a und t teilerfremd sind, sprich ggT(a,b)=1. Jetzt haben wir angenommen, dass der ggT(a,t)=d mit d ungleich 1. Und haben erhalten, dass d eine Einheit ist. Um jetzt die Behauptung folgern zu können, brauche ich ja einen Widerspruch zu der Annahme, dass es eben dieses d gibt oder zu einer Voraussetzung. Sprich ich brauche: a gleich 0 oder a ist Einheit oder d ist 1. Inwiefern sind wir fertig weil d eine Einheit ist? Tut mir Leid, wenn ich etwas schwerfällig bin, aber diese ganze neue Thematik ist gerade noch ziemlich schwere Kost für mich. |
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| 28.04.2013, 13:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Definition von teilerfremd ist: Jeder gemeinsame Teiler ist eine Einheit. |
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| 28.04.2013, 15:28 | rockit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar! Wir nutzen eine andere Definition, aber die Äquivalenz sehe ich. Danke für deine Hilfe! |
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