Invertierbarkeit und Teilerfremdheit

28.04.2013, 11:54	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit und Teilerfremdheit Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes zeigen: Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray} A \in\ K^{nxn} \end{eqnarray}$ mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray} m_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \in\ K[X] \end{eqnarray}$ ein weiteres Polynom. Zeigen Sie, dass f(A) genau dann invertierbar ist, wenn f und mA teilerfremd sind. Meine Ideen: Ich hatte bis jetzt folgende Ideen: "=>" Sei f(A) invertierbar => det(f(A)) ist nicht 0. Somit ist auf jeden Fall f(A) nicht 0 => f ist nicht das charakteristische Polynom CP von A => f ist nicht CP_A => nicht mA, da mA das charakteristische Polynom teilt und mA(A)=0. f kann kein Vielfaches von mA sein, da sonst f = n*CP_A(A) = 0. => f und mA sind teilerfremd. Bei der Rückrichtung ist mir leider nicht soviel eingefallen. Da hab ich nur: Seien f und mA teilerfremd => f(A) ist ungleich mA(A), wobei mA(A)=0, also kann f(A) nicht 0 sein. Bin ich mit meinem Beweis auf dem richtigen Weg? Was muss ich bei der Rückrichtung beachten? Danke im Voraus.
28.04.2013, 12:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis ist nicht richtig. Nur weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kein Vielfaches von $\begin{eqnarray} m_A \end{eqnarray}$ ist. können sie ja trotzdem gemeinsame Teiler haben. Schreibe $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als Produkt von irreduziblen Polynomen. Da $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ genau invertierbar ist, wenn $\begin{eqnarray} p(A) \end{eqnarray}$ für alle irreduzible Teiler von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ invertierbar ist, können wir o.B.d.A von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel ausgehen. Das vereinfacht die Sache sehr: Ist $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ invertierbar, so folgt für jedes Polnyom $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sofort: $\begin{eqnarray} fg(A)=0 \end{eqnarray}$ , so gilt schon $\begin{eqnarray} g(A) = 0 \end{eqnarray}$ . Was bedeutet das nun für das Minimalpolynom hinsichtlich Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Bei der Rückrichtung sollte man zur Not in den algebraischen Abschluss gehen: Sind $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_A \end{eqnarray}$ teilerfremd, so ist kein Eigenwert von A Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Was folgt für die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ ?
29.04.2013, 17:39	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Zu "=>": Also, aus g(A)=0 folgt doch dann direkt für das Minimalpolynom, dass es nicht durch f teilbar ist, da f und mA verschiedene Nullstellen haben müssen. Folgt daraus dann schon die Teilerfremdheit? Zu "<=": Wenn der Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von A keine Nullstelle von f ist, dann ist f(A) schon mal nicht 0. Für die Eigenwerte von f(A) gilt dann, dass sie verschieden zu den Eigenwerten von A sind. Doch was sagt das über die Invertierbarkeit aus? Kann ich vielleicht irgendwie folgern, dass $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von f(A) ist? Dann ist die Determinante von $\begin{eqnarray} f(A) \neq 0 \end{eqnarray}$ und somit wäre f(A) invertierbar. Wie muss ich weitermachen?

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