teilerfremde Polynome

28.04.2013, 12:09	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
teilerfremde Polynome Meine Frage: Hallo, diese Aufgabe stützt sich auf folgenden Satz: Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray} A \in\ K^{nxn} \end{eqnarray}$ mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray} m_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \in\ K[X] \end{eqnarray}$ ein weiteres Polynom. Zeigen Sie, dass f(A) genau dann invertierbar ist, wenn f und mA teilerfremd sind. Ich habe das Polynom $\begin{eqnarray} f = X^{14}-5X^{12}+4X^{10}+X^4-4X^2-1 \end{eqnarray}$ . Außerdem habe ich das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} CP_A(X)=(4-X^2)(1-X^2)= X^4-5X^2+4 \end{eqnarray}$ Jetzt ist die Teilerfremdheit von mA und f zu zeigen. Meine Ideen: Also, das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom sind in diesem Fall doch gleich oder? Dann hab ich mithilfe der Polynomdivision und dem euklidischen Algorithmus versucht, die Teilerfremdheit zu zeigen, aber ich erhalte am Ende einfach nicht den Rest 1: 1. Schritt: $\begin{eqnarray} f = (X^{14}-5X^{12}+4X^{10}+X^4-4X^2-1) : (X^4-5X^2+4)=X^{10}+1 \end{eqnarray}$ mit Rest $\begin{eqnarray} X^2-5 \end{eqnarray}$ . Danke im Voraus. 2. Schritt: $\begin{eqnarray} (X^4-5X^2+4) : (X^2-5) \end{eqnarray}$ mit Rest $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ Ich hab alles schon mehrmals durchgerechnet, aber Rechenfehler finde ich keine, aber trotzdem erhalte ich nicht den Rest 1. Wo genau liegt mein Fehler?
28.04.2013, 12:36	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: teilerfremde Polynome hallo, das macht nichts, wenn man den euklidischen algorithmus bei teilerfremden polynomen anwendet, muss der rest nicht automatisch 1 sein. Die polynome wären nur dann nicht teilerfremd, wenn man als rest plötzlich eine 0 stehen hätte. Gebe dir ein beispiel: die polynome X+5 und X+3 sind natürlich teilerfremd, und hier hat man ja am schluss den rest 2. gruss ollie3
29.04.2013, 18:32	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: teilerfremde Polynome Achso, dann hab ich ja doch richtig gerechnet. Vielen Dank!

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