Integralrechnung

28.04.2013, 14:12	quark	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Meine Frage: Hallo, Die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-x+3 \end{eqnarray}$ mit Intervall $\begin{eqnarray} \left[0;4\right] \end{eqnarray}$ Die Nullstellen habe ich. Die sind: $\begin{eqnarray} 3; -\sqrt{3}; \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Nun will ich die drei Flächen bestimmen. So wie ich das sehe. Die Fläche, die von $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ bis 3 geht, ist unter der x-Achse, deswegen muss ich auch beim rechnen Betrag nehmen. Mein Problem: ich sehe, dass die Grenzen dieser Fläche vertauscht werden, so laut der Lösung im Buch. Warum? Meine Ideen:* Ist mir nicht so ganz logisch. Womöglich wenn man die Fläche als positiv, also oberhalb der x-Achse sieht, ist mir aber nicht so ganz verständlich. Hoffe jemand weiss hier weiter, danke. gruss
28.04.2013, 15:15	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da das Integral zwischen $\begin{eqnarray} x=\sqrt 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=3 \end{eqnarray}$ negativ ist, kann man durch Vertauschen der Grenzen einen positiven Wert erzeugen. Denn es gilt: $\begin{eqnarray} \underbrace{\int_a^b \! f(x) \, dx}_{<0}=-\underbrace{\int_b^a \! f(x) \, dx}_{>0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow F(a)-F(b) =-\left(F(b)-F(a)\right) \end{eqnarray}$ Durch die allgemeine Rechenweise F(a)-F(b) ergibt sich automatisch die obige Relation. Und da man einen positiven Wert haben will (Fläche) vertauscht man die Grenzen. Deine Vorgehensweise stimmt aber auch: $\begin{eqnarray} \left\| \underbrace{\int_a^b \! f(x) \, dx}_{<0}\right\| >0 \end{eqnarray}$ Grüße.

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