Unabhängigkeit und bedingte Erwartungswerte

28.04.2013, 16:35

Rattenrudi

Unabhängigkeit und bedingte Erwartungswerte

Hallo, ich soll folgende Gleichung beweisen.

$\begin{eqnarray*} E[Y|\sigma(\mathcal F, X)]=E[Y|X] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ eine von den Zufallsvariablen X und Y unabhängige Sigmaalgebra ist.

Kann mir jemand helfen? Ich habe leider keine Idee... Hab's mit charakteristischen Funktionen probiert, krieg aber nix hin.

03.05.2013, 11:56

chili123

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folgt das nicht unmittelbar aus der Definition der bedingten Erwartung? Schau dir mal die Integrale an.

mfg

03.05.2013, 12:05

Lurchi_der_Lurch

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Darf ich eine kurze Zwischenfrage stellen?

Was meinst Du mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{F},X) \end{eqnarray*}$ ?

Die von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra?

Wie soll das definiert sein?

Von wo nach wo bilden die Zufallsvariablen X und Y denn ab? Kannst Du das etwas genauer beschreiben vielleicht?

03.05.2013, 13:17

HAL 9000

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Das ist durchaus üblich, dass man bei einigen Bezeichnungen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und die dadurch induzierte Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \sigma(X) \end{eqnarray*}$ miteinander identifiziert:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ erzeugt via $\begin{eqnarray*} \sigma(X):=X^{-1}(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ die Borel-Sigma-Algebra der reellen Zahlen ist) ein Mengensystem in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls ein solches. Die kleinste Sigma-Algebra, die beide Mengensysteme vollständig enthält, bezeichnet man dann eben

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{F}\cup \sigma(X)) =: \sigma(\mathcal{F},X) \end{eqnarray*}$ .

Man ist hier zugegeben etwas schlampig in der Bezeichnung, weil eigentlich keine mathematisch sinnvollen Fehlinterpretationen denkbar sind. Augenzwinkern

03.05.2013, 14:13

Lurchi_der_Lurch

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Danke, mir war diese Schreibweise nicht geläufig, aber ich hätte mir das, zugegebenermaßen, denken können.

Es ist, wie bereits angedeutet wurde, zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \int\limits_M Y\, dP=\int\limits_M E(X|Y)\, dP~\forall~M\in\sigma(\mathcal{F},X) \end{eqnarray*}$ .

03.05.2013, 14:52

Lurchi_der_Lurch

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Noch eine kleine Zwischenfrage, Verzeihung:

Wenn es in der Aufgabe lautet, dass beispielsweise die Zufallsvariable X unabhängig von der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ist, meint man damit, dass die von X erzeugte Sigma-Algebra unabhängig von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ist?

Das würde ja der Aussage entsprechen, dass man oftmals X mit der durch X induzierten Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \sigma(X) \end{eqnarray*}$ identifiziert.

03.05.2013, 14:56

HAL 9000

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Ja, so meint man das.

03.05.2013, 14:57

Lurchi_der_Lurch

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Super, dankeschön.

Ab jetzt keine Zwischenfragen mehr.

Sorry auch an den Fragesteller, now it's your turn. :-)

03.05.2013, 15:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lurchi_der_Lurch
Ab jetzt keine Zwischenfragen mehr.

Immer wieder gern: Es gibt kaum was schlimmeres als aus falscher Scham keine Nachfragen zum Verständnis der Problemstellung zu stellen.

03.05.2013, 19:15

Lurchi_der_Lurch

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Ich bin auch an dem Beweis dieser Aussage interessiert.

Momentan weiß ich aber nicht, wie ich

$\begin{eqnarray*} \int_M Y\, dP=\int_M E(Y|X)\, dP \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} M\in\sigma(\mathcal{F},X) \end{eqnarray*}$

zeigen kann, denn dies muss hier ja gezeigt werden...

Kann mir jemand einen Tipp geben?

03.05.2013, 21:08

Lurchi_der_Lurch

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...zumal ich gar nicht weiß, wie X und Y eigentlich definiert sind.

15.05.2015, 17:16

Entente

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Bedingter Erwartungswert / Unabhängigkeit
Hallo zusammen!

Ich suche genau für dieselbe Frage eine Antwort und konnte es auch mit der Integralschreibweise nicht hinbekommen. Hätte da noch jemand einen Tipp für mich?

Wäre sehr dankbar dafür!

LG

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