f(x,y) => Globale Extremstellen |
| 28.04.2013, 20:17 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| f(x,y) => Globale Extremstellen wie ich von einer mehrdimensionalen Funktion die lokalen Extremstellen bestimme weiß ich: Ich leite partiell nach x und y ab und bestimme die kritischen Punkte. Anschließend bilde ich die Hessematrix und überprüfe, ob die Eigenwerte der Hessematrix bzgl. der kritischen Punkte positiv/negativ definite sind. Jetzt soll ich aber die absoluten Extremstellen bestimmen. Wie gehe ich dort vor? Aus der Vorlesung weiß ich, man soll sich die "Randgebiete" der Funktion ansehen, y = 0 setzen. Dass ist aber alles relativ diffus. Ein "Fahrplan" wäre nett. Lokales Minimum der genannten Funktion ist übrigens (1,1) |
||||||||
| 28.04.2013, 21:42 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: f(x,y) => Globale Extremstellen Hi, zeichne dir doch erstmal eine Skizze von D, um herauszufinden auf welchem Bereich du deine Funktion betrachtest. Da du absolute Extremwerte haben willst, musst du dich eben auf den Rändern bewegen, um zu sehen, ob du hier evtl. größere oder kleinere Werte bekommst (die dann dein Minimum oder Maximum werden können). y=0 setzen ist schonmal ein Ansatz, aus der Skizze sollte dir auch ersichtlich werden, warum. Lg Tobi |
||||||||
| 28.04.2013, 22:28 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Manchmal reichen ja schon leicht veränderte Formulierungen, damit einem plötzlich manches klar wird. Beim lesen deines Beitrags z.B. ist mir klar geworden, warum ich überhaupt die Randgebiete betrachten muss. Ich finde mit f'(x,y) zwar die lokalen Extremstellen, an denen die Ableitung null wird, sprich keine Steigung vorliegt. Der Graph kann aber steigend/fallend auf den Rand meines Definitionsbereichs zulaufen. Das heißt der Graph nimmt innerhalb meines Definitionsbereich höhere/niedrigere Werte an, dies bleibt aber unbermerkt, wenn man sich nur die Ableitungen ansieht. Denn die Steigung des Graphens ist ja nicht null. Ich denke diese spontante Erkenntnis hilft mir schon mal weiter. 
|
||||||||
| 28.04.2013, 23:04 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, es freut mich, dass dir nun klar ist, warum man so vorgeht. Ich möchte dich noch kurz drauf aufmerksam machen, in diesem Fall (und auch allgemein) auf die Darstellung f'(x,y) zu verzichten: Lieber schreiben, denn durch den Gradienten erhältst du die lokalen Extrema, außerdem ist mit f'(x,y) eigentlich unklar, was gemeint ist, da du partiell nach x und y ableitest, um den Gradienten zu erhalten... Lg Tobi |
||||||||
| 28.04.2013, 23:56 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ooookay, ich hab nun mal wie vorgeschlagen eine Skizze erstellt und die jeweiligen Ränder betrachtet. Richtig schlau werd ich daraus nun aber leider auch nicht. Was sind nun die Extrempunkte? Sind Skizze und die darauf folgenden Rechnungen soweit korrekt? Ist dass überhaupt die richtige Vorgehensweise? |
||||||||
| 29.04.2013, 00:17 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, aus deiner Skizze werd ich grad noch nicht schlau. Ich nehme mal an, du hast für x>=0 die (pos) x-Achse und für y>=0 die (pos.) y-Achse als Rand betrachtet. Aber x+y<=4 scheint mir zu fehlen. Versuche dir geometrisch klarzumachen, was x+y<=4 bedeutet, stell notfalls nach y um. Fall 1 und 4 sind schonmal richtig, Fall 2 und 3 machen hier keinen Sinn, da du dich dann auf der Geraden y=4 und x=4 bewegst, du brauchst aber hier etwas ganz anderes (denk dabei an die Skizze!) Lg Tobi |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 29.04.2013, 00:55 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sind x+y <= 4 nicht die Fälle x = 0 und y = 4 bzw. y = 0 und x = 4? Also Fall 2 und 3. Diese beiden Fälle würden ja grade die Bedinung erfüllen. Schön zu hören dass Fall 1 und 4 richtig sind. Leider fehlt mir an dieser Stelle nun die Erkenntnis, was das exakt für mich bedeutet. Ich hab also die Punkte (64, 0) bzw. (0, 64). In dem Zuge eine weitere recht fundamentale Frage: Angenommen ich habe den Punkt (2,2) als lokales Minimum. Ist der Punkt (1, 3) jetzt "kleiner"? Ist er größer? Oder müssen sowohl x als auch y Komponente entweder kleiner oder größer sein? [z.B. (1,1) (3,3)] |
||||||||
| 29.04.2013, 01:13 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi,
nein, Aus beidem lässt sich umformen: Wie sieht das ganze grafisch aus? Ersteres solltest du leicht zeichnen können, zweiteres ergibt sich dann.
Ebenfalls nein, du hast ja für x und y schon Werte eingesetzt, du befindest dich im dreidimensionalen (x,y,z), die z-Komponente bestimmt deine Funktion f(x,y)
Denk dran, du hast eine Funktion ! Lg Tobi |
||||||||
| 29.04.2013, 08:56 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Benutze besser \land und \lor. Dann hättest du gemerkt, dass \wedge aussieht wie das logische "AND", obwohl du vermutlich das OR gemeint hast. Richtig also: |
||||||||
| 29.04.2013, 09:21 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ist mir nicht aufgefallen. Werd ich in Zukunft berücksichtigen. Danke fürs verbessern! Lg Tobi |
||||||||
| 29.04.2013, 10:59 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, nochmal in Ruhe, war gestern schon spät: Wenn ich das mal analog übertrage bei Funktionen mit nur einer Veränderlichen. f(x) = y. Das heißt ich setze ein x ein und erhalte einen Punkt (x,y). Dementsprechend setze ich bei f(x,y) = z zwei Variablen ein und erhalte einen Punkt (x,y,z). Jetzt zur den Extremstellen: Im zweidimensionalen wird ein Graph maximal/minimal, wenn seine y-Komponente seinen höchsten/niedrigsten Wert annimmt. Wenn ich das mal in's dreidimensionale übertrage: Ich ermittel Maximum/Minimum in Abhängigkeit von x und y. Das heißt x und y markieren den Ort meiner Extremstelle, z hingegen ist die Komponente, die ich auswerte um zu bestimmen, ob ein Punkt minimal/maximal wird. Soweit richtig? |
||||||||
| 29.04.2013, 11:18 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ja, soweit stimmt's
Lg Tobi |
||||||||
| 29.04.2013, 11:31 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider kann ich nicht mehr editieren, also ein weiterer Beitrag: Zu den Extremstellen: Das heißt, in der oben markierten Skizze gibt mir Fall 1 den Punkt (4, 0, 64) und Fall 4 den Punkt (0, 4, 64). Die lokale Extremstelle mit x=1 und y=1 gibt mir für Das heißt der Punkt ist (1, 1, -1) Jetzt zur Skizze: ich hab das mal überarbeitet, erhalte nun ein Dreieck.  http://imageshack.us/photo/my-images/59/skizzej.jpg/Den Fall 3 kann man in die Originalfunktion einsetzen und erhält dann und kann über diesen Weg dann den Min und Max bestimmen. Bis hierhin noch alles korrekt? Wie betrachte ich jetzt aber den Fall x + y < 4? |
||||||||
| 29.04.2013, 12:39 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
|
Bis hierhin stimmt alles, die Skizze auch. Nun, den Rand hast du bereits betrachtet, ebenfalls hast du schon den Fall x+y<4 betrachtet, und zwar mit dem Gradienten, denn dieser Fall ist ja gerade die Fläche im Dreieck. Wenn du nun alle Werte hast, sollte dir noch ein Satz über stetige Funktionen auf einem Kompaktum einfallen und damit bist du fertig mit der Aufgabe 
Lg Toni P.S.: Ich seh beim Gradienten noch eine lokale Extremstelle, die zwar in zwei anderen Fällen enthalten ist, aber der vollständigkeithalber sollte die noch erwähnt werden.. |
||||||||
| 29.04.2013, 12:46 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, zunächst zum (frei zitierten) Satz: Eine Funktion nimmt auf einer kompakten Menge Minimum und Maximum an. Schön zu hören, dass ich die Fläche schon betrachtet hab, hätte man selbst drauf kommen können. 
Jetzt zu den kritischen Punkten: Japp, es gibt einen am Punkt (1,1) und (0,0). Wenn man allerdings die Hessematrix im Punkt (0,0) bildet, erhält man eine Matrix bei welcher die Hauptdiagonale 0 ist, die aber nicht die Nullmatrix ist. Daraus folgt nach meinem Kenntnisstand, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Zusammenfassend: Ich hab ein lokales Extremum am Punkt (1, 1, -1) Und wenn ich die Randpunkte betrachte erhalte ich (4, 0, 64), wenn ich y = 0 setze. Ausserdem (0, 4, 64) wenn ich x = 0 setze. Und drittens habe ich ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen/zwei Unbekannten, dass ich umstellen und einsetzen kann und erhalte dann den Punkt (4, 0, -64). Damit ist mein globaless Minimum (4, 0, -64) und meine globalen Maxima sind (4,0, 64) und (0, 4, 64) |
||||||||
| 29.04.2013, 13:00 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, grad aufgefallen, dass hier etwas nicht stimmt, da fehlt noch das Plus nach dem x^3. Mit -64 bin ich mir grad nicht sicher, laut meinem Plot kommt da was anderes raus.. |
||||||||
| 29.04.2013, 13:04 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Inwiefern fehlt da ein +? 
Aber du hast insofern recht, als dass im Fall 3 natürlich (4, 0, 64) herauskommt. Demzufolge ist f(1,1) dass globale Minimum. |
||||||||
| 29.04.2013, 13:07 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab's hier schon eingefügt, schau im originalbeitrag |
||||||||
| 29.04.2013, 13:10 | Vinterblot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah, ich seh es. Aber ich hab hier vor Ort korrekt mit x^3 + (4-3)^3 - 3x(4-x) gerechnet, dass war lediglich ein Tippfehler. Das zusammengefasst ergibt 15x^2 - 60x + 64, nun für x die 4 einsetzen und man erhält (4, 0, 64) |
||||||||
| 29.04.2013, 21:15 | HammerTobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, 15x^2 - 60x + 64 für diese Funktion bekommst du aber auf deinem Definitionsbereich ein Minimum und 2 verschiedene, aber gleich große Werte (lok. max) in der Ausgangsfunktion (Parabel-Tiefpunkt-Randpunkt) Du machst für jeden Wert und/oder Funktion die du in die Ausgangsfunktion einsetzt, eine seperate Kurvendiskussion, hier halt dann f(x), f(y) etc., dort betrachtest du Min/Max und Randpunkte, so bekommst du für x=0 auch (0,0,0) als relatives Extremum. Lg Tobi |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
