Konvergenz und Grenzwert

29.04.2013, 12:27

Ghastis

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Konvergenz und Grenzwert

Hallo,

Ich komme bei der Aufgabe nicht vorwärts und brauche etwas Hilfe smile

smile

$\begin{eqnarray*} Sei: a_1 > 0, a_{n+1} = \frac{1}{1+a_n }. \end{eqnarray*}$
Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und gibt es einen Grenzwert?

Okay..

Der Zähler ist stets kleiner als der Nenner, d.h. die Folge bleibt immer zwischen 0 und 1.

Wenn also ein Grenzwert existiert, so ist er eine Zahl zwischen 0 und 1.

Allerdings erkenne ich keinen Wert, gegen den die Folge mit größer werdendem "n" konvergieren soll.
Außer, dass sich die Folge für größer werdende "n" einem Bereich von 0,6 annähern.

Leider fällt mir aber keine mathematische Vorgehensweise ein, daher bin ich für Tipps sehr dankbr!

29.04.2013, 13:01

klarsoweit

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RE: Konvergenz und Grenzwert
Wenn a_n gegen einen Grenzwert a konvergiert, muß offensichtlich $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ gelten.

Damit kannst du schon mal die möglichen Grenzwerte bestimmen.

30.04.2013, 12:34

ghastis

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RE: Konvergenz und Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn a_n gegen einen Grenzwert a konvergiert, muß offensichtlich $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ gelten.

Damit kannst du schon mal die möglichen Grenzwerte bestimmen.

Hallo, wieso muss denn das gelten?

Weiterhin: Wenn a_n gegen 5 konvergieren würde, hieße das ja: 5 = 1/6 verwirrt

verwirrt

30.04.2013, 12:58

klarsoweit

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RE: Konvergenz und Grenzwert

Zitat:

Original von ghastis
Hallo, wieso muss denn das gelten?

Na ja, da hilft eine simple Überlegung. Wenn a_n gegen a konvergiert, dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} b_n := \frac{1}{1+a_n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig konvergiert natürlich auch die Folge $\begin{eqnarray*} c_n := a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen a . Da aber c_n = b_n ist und der Grenzwert einer Folge eindeutig ist, muß also $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ sein.

Und da a=5 diese Gleichung nicht erfüllt, kann schon mal 5 nicht der Grenzwert von a_n sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2013, 19:42

ghastis

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Vielen Dank, Klarsoweit smile

smile

Leider fehlt mir noch das richtige Gespür für diese Aufgaben, denn ich habe zu linear gedacht.. unglücklich

unglücklich

30.04.2013, 20:03

ghastis

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Doch nochmal: Hallo!

Mir ist doch noch etwas unklar geschockt

geschockt

:

Wieso konvergiert $\begin{eqnarray*} c_n := a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen a? Es ist ja $\begin{eqnarray*} b_n = c_n \end{eqnarray*}$ , und von b_n weiß ich vorher schon, dass sie gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$ konvergiert, das muss doch für c_n dann ebenso gelten?
_ _ _

Ich habe noch eine Aufgabe:

Seien:
$\begin{eqnarray*} a_1 = 1/4 ; a_{n+1} = a_{n}^2 + 1/4 \end{eqnarray*}$

Wenn a_n nun gegen a konvergiert, dann konvergiert $\begin{eqnarray*} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ gegen a^2.
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert dann gegen $\begin{eqnarray*} a^2 + 1/4 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

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30.04.2013, 20:11

tipp0

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Die Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ haben das gleiche Konvergenzverhalten und im Fall der Konvergenz den gleichen Grenzwert, denn sie unterscheiden sich ja nur um ein Folgenglied und es kommt bei der Konvergenz nur auf das Verhalten im Unendlichen (für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ) an.

30.04.2013, 21:45

Mathesüchtiger

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Wollen wir nicht erstmal die erste Aufgabe lösen ? smile

smile

Wie weit bist du denn bisher?

01.05.2013, 17:24

ghastis

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Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Wollen wir nicht erstmal die erste Aufgabe lösen ? smile

smile

Wie weit bist du denn bisher?

Hallo,

ja, doch gerne; ich dachte, die wäre schon soweit fertig.

Also: Aufgabe 1:

Es gilt ja nun

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$

Dies ist dann erfüllt, wenn

$\begin{eqnarray*} a*(1+a) = 1 <=> a^2 + a - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

wobei dann

$\begin{eqnarray*} a1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; a2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Diese beiden sind dann die möglichen Grenzwerte. Da nun das erste Folgenglied schon größer als 0 ist und alle folgenden ebenfalls größer 0 sind, kann der Grenzwert nur a1 sein, also der positive Wert.

01.05.2013, 18:34

Mathesüchtiger

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Das Problem ist:

Du hast jetzt die beiden MÖGLICHEN Grenzwerte berechnet. Mögliche Grenzwerte kannst du selbst dann berechnen, wenn die folge gar nicht konvergiert.

D.h. wir müssen zuerst nachweisen, dass die Folge konvergiert. Tut sie es, kannst du die möglichen Grenzwerte ausreichen und meistens (durch logisches nachdenken) herausfinden, welcher der möglichen Grenzwerte nun der tatsächliche ist.

Bei rekursiven Folgen geht man im allgemeinen wie folgt vor:

1. Du zeigst, dass die Folge beschränkt ist. D.h. es existieren obere und untere Schranken für die Folge. (Dies kannst du zum Beispiel mittels vollständiger Induktion zeigen.)

2. Du zeigst, dass die Folge monoton ist. (Auch das kannst du mittels vollständiger Induktion zeigen)

3. Du argumentierst: Jede monotone beschränkte Folge konvergiert und hat somit wirklich einen Grenzwert. Diese kannst du, wie gesagt, so bestimmen, wie du es bereits getan hast.

Wie du siehst , wartet noch etwas arbeit auf dich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Fangen wir also mit Punkt 1 an:

1. Wähle zunächst eine beliebige obere und untere Schranke. Offensichtlich ist 0 eine untere Schranke und $\begin{eqnarray*} a_n+1 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke. (Beachte: Du musst nicht die kleinste obere oder größte untere Schranke angeben).

Zeige also nun per vollst. Induktion , dass $\begin{eqnarray*} 0<a_n<a_n+1 \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 11:03

ghastis

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Guten Morgen/Mittag Wink

Wink

Ich weiß, was du meinst, hat nur etwas gedauert, bis es "Klick" gemacht hat.

Nun zu meinen Versuchen

1.) Beweis der Beschränktheit der Folge:
$\begin{eqnarray*} 0 < a_{n} < a_{n} + 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang mit n = 1:
$\begin{eqnarray*} 0 < a_{1} \end{eqnarray*}$
ist per Definition erfüllt
$\begin{eqnarray*} a_{1} < a_{1} + 1 <=> 0 < 1 \end{eqnarray*}$ (durch Subtrahieren von $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt mit n -> n +1:
$\begin{eqnarray*} 0 < a_{n+1} = \frac{1}{1+ a_{n}} <=> 1 > 0 \end{eqnarray*}$ (indem mit dem Nenner multipliziert wird, was zulässig ist, da er stets größer als 0 ist, da per Definition a_n größer als 0 ist)
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n+1} + 1 <=> 0 < 1 \end{eqnarray*}$ (erneutes Subtrahieren)

2.) Beweis der Monotonie.

Ja.. ich sehe weder eine fallende noch eine steigende Monotonie, sondern eine wechselnde.

02.05.2013, 11:59

Grautvornix

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Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Bei rekursiven Folgen geht man im allgemeinen wie folgt vor...

Nö, im allgemeinen sicher nicht, denn bei rekursiven Folgen muss man sich hin und wieder auch mal was anderes einfallen lassen.
Vor allem dann, wenn sie nicht monoton sind.

Zeige zunächst $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Ziehe dann mit Hilfe folgender, zu begründender, Gleichung die erforderlichen Schlussfolgerungen:

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|=\underbrace{\frac{2~a_{n+1}}{\sqrt{5}+1}}_{\leq q <1}\left|a_n-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|. \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 12:03

Grautvornix

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So sollte es natürlich eigentlich oben lauten:

Zitat:

Zeige zunächst $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2. \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 13:14

ghastis

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Zitat:

Original von Grautvornix

Zitat:

Original von Mathesüchtiger
Bei rekursiven Folgen geht man im allgemeinen wie folgt vor...

Nö, im allgemeinen sicher nicht, denn bei rekursiven Folgen muss man sich hin und wieder auch mal was anderes einfallen lassen.
Vor allem dann, wenn sie nicht monoton sind.

Zeige zunächst $\begin{eqnarray*} 0<a_n<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Ziehe dann mit Hilfe folgender, zu begründender, Gleichung die erforderlichen Schlussfolgerungen:

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|=\underbrace{\frac{2~a_{n+1}}{\sqrt{5}+1}}_{\leq q <1}\left|a_n-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|. \end{eqnarray*}$

Hallo;

$\begin{eqnarray*} 0 < a_n < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ habe ich per Induktion gezeigt, d.h. ich weiß nun, dass die Folge beschränkt ist.

Leider weiß ich nicht, was ich mit der von dir geposteten Gleichung zeigen soll.

06.05.2013, 17:02

ghastis

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Hallo nochmal,

falls jemand noch etwas Hilfe leisten kann, bin ich sehr dankbar Gott

Gott

07.05.2013, 09:17

Grautvornix

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Sei $\begin{eqnarray*} q:=\frac 2{\sqrt{5}+1}. \end{eqnarray*}$

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|=\frac{2~a_{n+1}}{\sqrt{5}+1}\left|a_n-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|\leq q\left|a_n-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|\leq q^n\left|a_1-\frac{\sqrt{5}-1}2\right|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$

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