Spatprodukt, wieso legt Skalarprodukt die Höhe fest?

29.04.2013, 12:48	amala	Auf diesen Beitrag antworten »
Spatprodukt, wieso legt Skalarprodukt die Höhe fest? Meine Frage: In meiner mündlichen Matur sollte ich erklären wieso das Spatprodukt das Volumen ergibt. Als Hilfestellung erhielt ich "h= seite * cos des eingezeichneten Winkel und dies ist dann das Skalarprodukt" Meine Ideen: Skalarprodukt legt doch Winkel fest? in meiner Online- Suche fand ich heraus das es auch einer Projektion eines Vektors auf die Richtung des anderen Vektors ist (passiert das mit beiden Vektoren oder wird nur einer projeziert?), multipliziert mit der länge des Vektors. Beim Spatprodukt hiesse das ja, dass Vektor c mit dem Normalenvektor in der Länge multipliziert wird, d.h. Länge von Vektor c bliebe gleich, aber er steht nun senkrecht auf den Vektoren a und b, deshalb ergibt er die Höhe des Spates. Aber wie kommt nun \|c\| * cos ins Spiel? Danke für Eure Hilfe!
29.04.2013, 17:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt hier darauf an, was du alles schon weißt. Sagt dir der Begriff Vektorprodukt (Kreuzprodukt) etwas? Weißt du, wie man den Betrag des Vektorproduktes interpretieren kann? Was weißt du über das Skalarprodukt? Kennst du die Hessesche Normalform (HNF)? Weißt du, wozu sie dient? Wenn du diese Fragen mit "Ja" beantworten kannst, ist der Weg zum Spatprodukt ein Kinderspiel. Ansonsten müssen wir weiter ausholen.
29.04.2013, 18:36	amala	Auf diesen Beitrag antworten »
- Vektorprodukt spannt ein Parallelogramm zwischen 2 Vektoren auf und der entstehende Normalenvektor der auf den zwei Ausgangsvektoren steht hat den Betrag der Fläche des Parallelogrammes. - Skalarprodukt entsteht wenn man 2 Vektoren multipliziert. Resultat = = heisst dass diese Vektoren Senkrecht aufeinander stehen. Zur Winkelberechnung wird (Skalarprodukt / (Betrag Vektor 1 * Betrag Vektor 2)) verrechnet. - HNF wird dazu verwendet einen Abstand eines Punktes zur Ebene zu berechnen. (Koordinatenform Ebene mit eingesetztem Punkt) / (Betrag Normalenvektor Ebene) - Spatprodukt in Worten: (Vektorprodukt von a +b) * (Skalarprodukt von c) Höhe * Grundfläche = Volumen, Fläche ist klar durch das Vektorprodukt. Aber die Höhe? Danke vielmals für eine Erklärung!
29.04.2013, 18:37	amala	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Skalarprodukt : Resultat = 0 natürlich, nicht ==, sorry :-)
30.04.2013, 01:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht, ist sie gleich der Projektion von c auf die Flächennormale. Dabei wird die Länge (Betrag) von c mit dem Cosinus des Winkels, den c mit der Basisfläche einschließt, multipliziert. Das ist ein rein geometrischer Zusammenhang. Und - was ist nun das Produkt des Betrages des Normalvektors mit dem von c mal dem Cos des von beiden eingeschlossenen Winkels? mY+
30.04.2013, 11:03	amala	Auf diesen Beitrag antworten »
- Das Produkt ist die Höhe und gleich dem Betrag von c, da ja der Normalenvektor die definierte Länge 1 hat. Wird der Normalenvektor dann auch gleichzeitig auf c projiziert? In unserem Buch steht nur, dass man mit dem Skalarprodukt Winkel berechnet, die Bedeutung des Produktes der Skalarmultiplikation (damit meine ich bevor man nach Cosinus auflöst) hab ich mir vorher nie so genau überlegt. Macht schon einiges klarer, Danke viel mal!
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02.05.2013, 17:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist umgekehrt: Der Vektor c wird auf den Normalvektor projiziert. Und: Der Normalvektor hat a priori nicht die Länge 1, erst bei der Division durch seinen Betrag (z.B. bei der Winkelbestimmung) ist er dann automatisch normiert. Beim Spatprodukt ist dies also nicht der Fall. Das Skalarprodukt des Normalvektors (n) mit dem Vektor c beinhaltet definitionsgemäß (!) die Länge des Vektors (n), AUF DEN projiziert und die Länge der Projektion von c auf n. Letztere ist gleich der Höhe und da die Länge von n zahlenmäßig gleich der Fläche des Basisparallelogrammes ist (das ist ebenfalls lt. Definition des Vektorproduktes der Fall) ist das Gesamtergebnis gleich dem Volumen des Spates (schiefes Prisma). Das Dreiecksprisma hat übrigens das halbe Volumen. Mit Hilfe des normierten (d.h. auf die Länge 1 gebrachten) Normalvektors werden Abstandsberechnungen durchgeführt. mY+

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