Log((N-n)!)

29.04.2013, 12:59	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Log((N-n)!) Moin, wie ich gerade nachgelsen habe kann man den Logarithmus von $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ für sehr große n so ableiten: $\begin{eqnarray} \frac{d (\text{Log} n!)}{\text{dn}}\approx \frac{(\text{Log} (n+1)!-\text{Log} n!)}{1} =\text{Log} (n+1)\approx \text{Log} n \end{eqnarray}$ Jetzt kommen die aber im Buch darauf, dass: $\begin{eqnarray} \frac{d (\text{Log} (N-n)!)}{\text{dn}} \approx -(\text{Log} (N-n)) \end{eqnarray}$ N ist eine Konstane. Wenn ich das versuche kommt aber eher sowas raus: $\begin{eqnarray} \frac {(d Log((N-n)!))}{dn} \approx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{ ( Log((-n+N+1)!)-Log( (N-n)!))}{1} \right)\cdot \left(\frac{ (-n+N+1)!-(N-n)!}{1}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Log}\left( \frac{ (-n+N+1)!}{(N-n)!} \right) \cdot ((-n+N+1)!-(N-n)!)=(\text{Log} (-n+N+1))\cdot ((-n+N+1)!-(N-n)!)\approx ((-n+N+1)!-(N-n)!) (\text{Log} (N-n)) \end{eqnarray}$ Muss man das anders machen? Gruß Nickel
29.04.2013, 15:48	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Log((N-n)!) Ganz einfach (Kettenregel): $\begin{eqnarray} F'(x)=f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(N-x)=-f(N-x) \end{eqnarray}$
29.04.2013, 15:59	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Log((N-n)!) Bloß ist hier die innere funktion eine funktion mit fakultät... Wie soll ich $\begin{eqnarray} (N-n)! \end{eqnarray}$ nach n ableiten?
29.04.2013, 16:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt sinnlos stur loszurechnen, sollte man vielleicht erstmal nachdenken, was man da eigentlich tut: Um eine Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (oder $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ) abzuleiten, sollte diese Funktion in einer $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung um diese Stelle erstmal definiert sein!!! Das ist bei der Fakultätsfunktion nicht der Fall, allenfalls bei der Gammafunktion, die man gewissermaßen als stetige Erweiterung der FAkultätsfunktion auffassen kann. P.S.: Vielleicht erzählst du mal besser, wozu du diese Ableitung brauchst - oder besser gesagt: meinst, zu brauchen...
29.04.2013, 17:19	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Log((N-n)!) Wenn $\begin{eqnarray} F(n)= Log(n!) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} F(N-n)=Log((N-n)!) \end{eqnarray}$ maßgeblich ist, dass du (nur) n durch eine beliebige Funktion g(n) ersetzt. Und wenn du F(n) ableiten kannst, dann kannst du auch F(N-n) oder auch F(cos(n)) ableiten. F(n) kann dabei auch verschachtelt sein, z.B. $\begin{eqnarray} F(n)=cos(sin(n^2-4)) \end{eqnarray}$
29.04.2013, 20:51	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Log((N-n)!) Es geht einfach darum, dass $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sehr groß ist, und man deshalb sagen kann, dass n eine quasikontinuierliche Variable ist (obwohl man nur in Einserschritten mit n größer werden kann). Deswegen gilt nach dem Buch "Statistische Physik und Theorie der Wärme" von Frederick Reif: $\begin{eqnarray} \frac{d (\text{Log} n!)}{\text{dn}}\approx \frac{(\text{Log} (n+1)!-\text{Log} n!)}{1}= \text{Log} \left( \frac{ (n+1)! }{n!} \right) =\text{Log} (n+1) \approx \text{Log} \, n \end{eqnarray}$ Ist die Antwort auf meine Frage wie man jetzt bei dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac {(d Log((N-n)!))}{dn} \end{eqnarray}$ vorgeht, dass man hier nicht so argumentieren kann wie beim oben stehenden Ausdruck? Gruß Nickel
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30.04.2013, 10:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich halte nichts von solchen pseudomathematischen Gewurstel: Wenn es nur um den Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \Delta_{h} f(x): = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ mit fester Schrittweite $\begin{eqnarray} h=1 \end{eqnarray}$ geht bzw. aus Definitionsfragen auch überhaupt nur gehen kann, dann soll man das doch klar und deutlich sagen, statt über eine gar nicht vorhandene Ableitung zu philosophieren. OK, dann hat man für $\begin{eqnarray} f_1(n) = \ln(n!) \end{eqnarray}$ den Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \Delta_1 f_1(n) = \frac{\ln((n+1)!)-\ln(n!)}{1} = \ln(n+1) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} f_2(n) = \ln((N-n)!) \end{eqnarray}$ entsprechend $\begin{eqnarray} \Delta_1 f_2(n) = \frac{\ln((N-(n+1))!)-\ln((N-n)!)}{1} = \ln\left( \frac{(N-n-1)!}{(N-n)!} \right) = \ln\left( \frac{1}{N-n} \right) = -\ln(N-n) \end{eqnarray}$ , d.h. das Buch hat (abgesehen von seiner abzulehnenen Ableitungschreibweise) Recht.

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