Gerade schneidet Parabel senkrecht

29.04.2013, 16:50	Eagle01	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade schneidet Parabel senkrecht Meine Frage: Die Funktion y=f(x)=x²wird von einer Geraden, die durch den Punkt (0; 4,5) geht, senkrecht im 1.Quadranten des Koordinatensystems geschnitten. Ermitteln Sie den Schnittpunkt und die Geradengleichung. Meine Ideen: Ich weiß, dass man die Gerade mit g(x)=m*x+4,5 angeben kann und dass der gewünschte Anstieg m mithilfe der ersten Ableitung von f(x), nämlich f'(x)=2x ermittelt werden kann, indem man das negative Reziproke (in dem Fall -(1/2)x)bildet. Nur wie genau geht es dann weiter?
29.04.2013, 17:10	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = m_gx + 4.5 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ schneide $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} P(x_0\;\|\;f(x_0)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x) = m_t + b_t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x \end{eqnarray}$ Bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} m_t \end{eqnarray}$ die Steigung der Tangente $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , so gilt - wie du bereits richtig gesagt hast - $\begin{eqnarray} m_g = -\frac{1}{m_t} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m_t = f'(x_0) = 2x_0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} m_g = -\frac{1}{2x_0} \end{eqnarray}$ . Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ den Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ berührt. Folglich gilt $\begin{eqnarray} f(x_0) = t(x_0) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} x_0^2 = 2x_0^2 + b_t \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} b_t = x_0^2 - 2x_0^2 \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} t(x) = m_t + b_t = 2x_0x + x_0^2 - 2x_0^2 = 2x_0x - x_0^2 \end{eqnarray}$ . Fernerhin schneidet auch $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Tangente $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ .

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