Metrik induzierte Topologie

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SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik induzierte Topologie
Hallo zusammen!

Ich sitze an einer Aufgabe und bekomme grad irgendwie nicht den Drehum!

Vorweg:
In Teil 1 der Aufgabe sollten wir alle Topologien notieren, die durch die Menge X= { 0, 1, 2 } gegeben sind. Das war mit etwas schreibarbeit gar nicht so schwer. Jetzt sollen wir angeben, welche dieser Topologien durch eine Metrik-d induziert sind. Dazu haben wir folgenden Satz:

T_d = {U Teilmenge von T | U ist offen im Sinne von d}

Da die Anzahl der Topologien von X ja nicht grade wenig ist, will ich mein Problem an einem Beispiel verdeutlichen.
Sei T={ LeereMenge,X, {0},{0,1}}

Betrachte ich jetzt das Element {0,1} in T (und natürlich alle anderen), so muss ich also feststellen, ob dies im Sinne einer Metrik als offen gelten kann, damit ich sagen kann ob die Topologie durch eine Metrik erzeugt wurde.

Wenn ich mir jetzt die Definition für offene Mengen nehme habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich das auf eine Menge aus 2 Elementen anwenden soll. Sonst haben wir in diesem Zusammenhang immer Intervalle über R betrachtet.
Offene Mengen in metrischen Räumen haben wir genau so wie auf Wikipedia definiert:
http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Offene_Kugel

Eigentliches Problem:
Ich habe keine Vorstellung, wie ich das Konzept der offenen Menge auf eine Teilmenge einer endlichen Menge aus natürlichen Zahlen anwenden soll.

Idee:
Ich hab das ganze mal konkret und mit etwas Hilfe auf die diskete Metrik angewendet. Da kam dann herraus, dass nur T=P(X) durch die Metrik erzeugt wird.

Ich kann doch jetzt nicht alle bekannten Metriken ausprobieren. Da bin ich ja nächstes Semester noch nicht fertig.

Würde mich über etwas Unterstützung freuen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik induzierte Topologie
Wenn eine Metrik auf gegeben ist, nimmt die (außer Null) nur drei verschiedene Werte, nämlich , und an.
Insbesondere sind das endlich viele und es existiert ein Minimum. Was kannst du mit der Hälfte dieses Minimums anstellen?
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt der Einfachheit halber mal die Metriken benutzt, die durch die 1, die 2 und die Maximumsnorm induziert werden. Ich bekomme für die 3 Fälle , und konkrete Ergebnisse und jedesmal ein Minimum von 1 und daraus eine resultierende Hälfte von 0,5.
Ich denke, dass du darauf hinaus willst, dass ich diesen Wert als Epsilon für meine Umgebung zu den offenen Mengen meiner Topologien wähle.

Trotzdem verstehe ich nicht wie ich daraus ableiten soll, ob eine Element meiner Topologie offen ist oder nicht.
Als Beispiel schlage ich noch einmal die Topologie T_d = {,X, {0},{0,1}} vor.

Nehme ich nun das Element - {0,1} und betrachte die Kugeln B(0,0.5) und B(1,0.5), so müssen diese in {0,1} sein, damit die Menge offen ist. Mit Epsilon:=0,5 ist das aber nicht der Fall. Darf ich das überhaupt machen? {0,1} ist doch kein Intervall...

Guck ich mir dies aber mit einem halben Meter Abstand vom Bildschirm an, so bin ich mir überhaupt nicht sicher was ich da eigentlich mache.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SigmundFreud
Guck ich mir dies aber mit einem halben Meter Abstand vom Bildschirm an, so bin ich mir überhaupt nicht sicher was ich da eigentlich mache.

Ich frage mich allerdings auch, was du da machst.

Du sollst keine konkrete Metrik wählen, sondern von einer beliebigen ausgehen.
Zeige dann, dass diese beliebig gewählte Metrik genau eine bestimmte Topologie induziert.
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, ich muss da mal ne Nacht drüber schlafen. Ich sehs grad einfach nicht wie ich aus den Eigenschaften einer beliebigen Metrik das ganze ableiten soll. Aber danke für die späte Mühe noch, jetzt weiß ich wenigstens das ich auf dem Holzweg bin und verbieg mir nicht im Schlaf den Kopf in die falsche Richtung. Gute Nacht
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