Normen auf endlich dim. Vektorraum

29.04.2013, 18:24

hh1234

Normen auf endlich dim. Vektorraum

Hiho, hänge mal wieder bei ner Aufgabe.

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie:

(a) Wenn $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ Normen auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind, dann sind $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent.

(b) Wenn $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel \end{eqnarray*}$ eine Norm auf V ist, dann ist V ein Banachraum.

Sätze:

1. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K-VR \end{eqnarray*}$ ... Seien $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ Normen auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Dann heißen $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent, wenn $\begin{eqnarray*} \exists c_1,c_2>0, s.d. c_1\parallel\cdot \parallel_1 \leq \parallel\cdot \parallel_2\leq c_2\parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x\in V \end{eqnarray*}$

2. Ein vollständig normierter Raum heißt Banachraum, wobei vollständig bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in dem metrischem Raum konvergiert.

Erstmal zu a):

Ich muss ja irgendwie $\begin{eqnarray*} c1,c2 \end{eqnarray*}$ finden, s.d. obige Bedingung erfüllt ist. Allerdings weiß ich nicht wie ich da rangehen soll. Ich weiß dass zwei beliebige Normen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ äquivalent sind, aber mein endl. dim. Vektorraum muss ja nicht der $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ sein, außerdem wäre der Teil ja sonst auch bereits gelöst.

Danke für jegliche Tipps smile

.

Edit:

$\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} := | x_1| +...+|x_n| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} := (| x_1|^2 +...+|x_n|^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

29.04.2013, 21:59

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

musst du es jetzt fuer 2 beliebige Normen zeigen?

Wenn ja, dann nutze aus, dass in einem endlich dimensionalen VR der Dimension N gilt:

$\begin{eqnarray*} x\in V \; \Rightarrow x = \sum_{i=1}^N a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$

Wobei x dadurch eindeutig beschrieben ist.

Nun zeige, dass jede Norm aquivalent zur Maximumsnorm ist. Wobei die Maximumsnorm wie folgt defniert ist:

$\begin{eqnarray*} \parallel x \parallel_\infty = \operatorname{max}_{i=1,2,\dots ,N} |a_i| \end{eqnarray*}$

Dann hast du gezeigt, dass beliebige Normen äquivalent sind.

Grüße aus Bonn,
Chris

30.04.2013, 12:20

hh1234

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für beliebige Normen, denke ich zumindest. Allerdings haben wir diesen Satz bereits in der Vorlesung bewiesen und zwar ebenfalls über die Maximumsnorm, ist mir gerade erst aufgefallen.

Deshalb zu b).

Ich vermute, ich benötige wieder die von dir angesprochene Schreibweise für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ebenso die Maximumsnorm. Zeigen muss ich, dass jede Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Mir ist allerdings noch gar nicht so Recht klar, wie ich mir eine Norm vorzustellen habe. Bei deiner Notation für $\begin{eqnarray*} x\in V \; \Rightarrow x = \sum_{i=1}^N a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$ sind die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ Basisvektoren von V? Und V muss doch generell der $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ sein, da sich sonst keine Norm darauf definieren lässt, oder?
Was sind nun die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \parallel\cdot \parallel_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} := | x_1| +...+|x_n| \end{eqnarray*}$ Sind es hier die Einträge $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ... ?

Ich hab Probleme mir vorzustellen, dass die Norm aus den Beträgen einzelner Einträge besteht, kann man das irgendwie veranschaulichen?
Ich würde es so verstehen, dass ich ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ "über der Norm" darstellen kann.

01.05.2013, 16:05

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hh1234
Was sind nun die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ?

Die v's sind die Einheitsvektoren und die a's sind die Komponenten.

Nutze aus, dass in IR oder IC jede Cauchyfolge konvergiert, d.h. fuer jedes $\begin{eqnarray*} i=1,\dots, n \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} a_i\in \mathbb K \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} a_{i,k} = a_i \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du dir schonmal deine Grenzwert konstruieren, nun musst du nur noch zeigen, dass deine Folge da wirklich hinkonvergiert.

Neue Frage »

Antworten »

Normen auf endlich dim. Vektorraum

Verwandte Themen