Nichtsinguläre Transformation

29.04.2013, 22:31

mathe_frager3

Nichtsinguläre Transformation

Hallo Leute, habe eine Frage.

Erst einmal eine Definition.

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal B, \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum. Eine Transformation $\begin{eqnarray*} T: \Omega \to \Omega \end{eqnarray*}$ heißt nichtsingulär, wenn für alle $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal B \end{eqnarray*}$ gilt, dass

$\begin{eqnarray*} \mu(B) = 0 \Rightarrow \mu(T^{-1}(B)) = 0. \end{eqnarray*}$

Frage: wenn T bijektiv ist, ist T dann automatisch eine nichtsinguläre Transformation?

Danke euch!

29.04.2013, 22:39

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Nein, such ein Gegenbeispiel.

30.04.2013, 09:06

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Danke erst mal für deine Antwort, Che Netzer.

Ähm, sorry, mir ist heute eingefallen, dass ich nicht irgend einen Maßraum habe, sondern
$\begin{eqnarray*} (\mathbb R^d, \mathcal B(\mathbb R^d), \mu), \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Maß ist. Hier sollte es doch stimmen oder?

30.04.2013, 09:18

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Nein, auch dann nicht.

Selbst wenn man zusätzlich zur Bijektivität noch die Messbarkeit fordert, muss das nicht gelten.

30.04.2013, 09:22

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Uff, ok.

Schade. Es geht nämlich um eine Anwendung des Satzes von Radon-Nikodym, die ich brauche. Ich hatte zwar die ganze Zeit, die Voraussetzung, dass die Transformation nichtsingulär sein soll, aber dann hab ich mich gefragt, ob ich das in dem FAll nicht weglassen könnte, weil ich weiß, dass T bijektiv ist.

Aber das scheint ja nicht zu stimmen. Ich werde mir dann ein Gegenbeispiel überlegen!

(Es geht um Frobenius-Perron operatoren, die den Fluss von Dichten unter einem Vektorfeld (DGL) beschreiben)

30.04.2013, 09:36

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Noch ein letzter, verzweifelter Versuch Big Laugh

Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bijektiv und stetig ist (und $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ auch). Dann müsste es doch klappen oder?

Ich müsste ja zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal B \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \mu(T^{-1}(B)) \ne 0 \Rightarrow \mu(B) \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \mu(T^{-1}(B)) \ne 0 \end{eqnarray*}$ , muss doch $\begin{eqnarray*} T^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ einen inneren Punkt enthalten. Dann betrachte ich die Epsilon-Kugel um diesen Punkt, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ . Das Urbild $\begin{eqnarray*} (T^{-1})^{-1}(U_{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ ist offen, da $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Und da $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon} \subset T^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} (T^{-1})^{-1}(U_{\epsilon}) \subset B \end{eqnarray*}$ . Also hat auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ einen inneren Punkt und damit positives Maß.

30.04.2013, 09:43

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation

Zitat:

Original von mathe_frager3
Wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bijektiv und stetig ist (und $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ auch). Dann müsste es doch klappen oder?

Nein

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} \mu(T^{-1}(B)) \ne 0 \end{eqnarray*}$ , muss doch $\begin{eqnarray*} T^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ einen inneren Punkt enthalten.

Nein, betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

30.04.2013, 09:50

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Ok,

ich gebe zu, dass ich in Maßtheorie und anderen Sachen leider ziemlich eingerostet bin unglücklich

Aber ich verstehe schon, $\begin{eqnarray*} [0,1] \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ hat Maß 1 und enthält aber keinen inneren Punkt, was meine ganze Argumentation futsch macht Hammer

30.04.2013, 09:51

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Übrigens würde es funktionieren, wenn du statt Stetigkeit sogar Absolutstetigkeit forderst – d.h. dass die Funktion keinen singulärstetigen Anteil besitzt Augenzwinkern

30.04.2013, 09:57

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Öhm, leider kenne ich mich damit (absolutstetigkeit) nicht so aus.

Es ist so, dass das T in meinem Fall keine beliebige Transformation ist, sondern

$\begin{eqnarray*} \Phi_t : x \mapsto \Phi_t x \end{eqnarray*}$

einer Flussabbildung $\begin{eqnarray*} \Phi: (t,x) \mapsto \Phi_t x \end{eqnarray*}$ , welche von einem DGL System $\begin{eqnarray*} \dot{x} = F(x) \end{eqnarray*}$ generiert wird. F darf beliebig oft differenzierbar sein, aber ich denke 2 mal reicht.

Ändert das was? Prost

30.04.2013, 10:01

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Wie genau ist denn da $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Phi_t \end{eqnarray*}$ definiert?

30.04.2013, 10:02

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation
Also wenn du z.B.

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = Ax \end{eqnarray*}$ hast,

dann ist ja

$\begin{eqnarray*} \Phi_t x = e^{At} x \end{eqnarray*}$ .

Wenn F ein beliebiges nichtlineares Vektorfeld, das aber hinreichend nett ist, dann existiert diese Flussabbildung auch, aber man kann es halt nicht explizit hinschreiben. Sie beschreibt einfach, wie ein Punkt entlang dem Vektorfeld fließt.

30.04.2013, 10:08

Che Netzer

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RE: Nichtsinguläre Transformation
D.h. $\begin{eqnarray*} \Phi_t \end{eqnarray*}$ bildet ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf die Lösung der DGL zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab?
Das ist auch mal wieder eines dieser schrecklichen Dinge mit Dutzenden von Namen...

Jedenfalls sollte diese Flussabbildung dann differenzierbar sein.
Ich denke, Differenzierbarkeit sollte genügen.
Zumindest im Eindimensionalen; in höheren Dimensionen sollte aber auch nichts schiefgehen verwirrt

30.04.2013, 10:12

mathe_frager3

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RE: Nichtsinguläre Transformation

Zitat:

Original von Che Netzer
D.h. $\begin{eqnarray*} \Phi_t \end{eqnarray*}$ bildet ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf die Lösung der DGL zur Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab?

Ja genau, so ist das gemeint! Freude

Das gehört zur Theorie der dynamischen Systeme (dynamical Systems). Siehe z.B. auch Wikipedia (englisch): Flow (mathematics)

Ich finde es ganz interessant.

Danke für deine Hilfe. Ich werde mir das nochmal genauer überlegen Big Laugh

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