Abelsche Gruppen, Sylow-Sätze

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppen, Sylow-Sätze
Ich interessiere mich gerade dafür, ob alle Gruppen der Ordnung ( Big Laugh ) abelsch sind. Also ich habe eine Gruppe mit

Ansatz war, mal ein bisschen mit Sylow rumzuspielen, aber wenn man noch keine klare Strategie hat, ist das nur im Trüben Rumstochern.

Ich habe also schon mal eine Sylow-Untergruppe der Ordnung . Das ist auch die einzige Untergruppe dieser Ordnung, da die Anzahl dieser Gruppen ja erfüllen und die Gruppenordnung teilen muss. Die ist jedenfalls abelsch, da die Ordnung das Quadrat einer Primzahl ist.

Analog für die Sylowgruppe der Ordnung 59. Auch nur eine. Ebenfalls abelsch, da zyklisch.

Von Ordnung kann es auch mehrere geben, oder? Sind jedenfalls auch abelsch, oder?

Einwände soweit? Hat jemand einen Tipp, wie ich nun ansetzen könnte? smile
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Was dir helfen wird ist der Satz von Burnside, der löst dein Problem sofort:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...cle.php?sid=786


Zitat:
Von Ordnung kann es auch mehrere geben, oder? Sind jedenfalls auch abelsch, oder?

Was meinst du damit genau.
Um meine Befürchtung auszuräumen was du meinen könntest: Es gibt keine 53-Sylowgruppe in G dieser Ordnung, die haben alle Ordnung 53².
Und Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch also abelsch.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Was dir helfen wird ist der Satz von Burnside, der löst dein Problem sofort:

Unbekannt. Müsste anders gehen.

Zitat:
Zitat:
Von Ordnung kann es auch mehrere geben, oder? Sind jedenfalls auch abelsch, oder?

Was meinst du damit genau.

53 ist eine Primzahl, also ist eine Untergruppe der Ordnung 53 zyklisch. Das meinte ich. Nix mit Sylow.

Zitat:
Original von watcher
Und Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch also abelsch.

Ja, das hatte ich ja auch schon angemerkt.

edit: sorry, wenn ich es knapp halte, ich schreib grad mit bildschirmtastatur, weil die tastatur meines laptops vorhin den geist aufgegeben hat.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Unbekannt. Müsste anders gehn.

Wie wär's mit selber zeigen?

Es genügt ja zu zeigen:
Alle Sylovgruppen sind normal, dann ist G Produkt der Sylovgruppen.
Naheliegende Abbildung betrachten, zeigen dass sie ein Iso ist geht in ganz wenigen Zeilen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Es genügt ja zu zeigen:
Alle Sylovgruppen sind normal, dann ist G Produkt der Sylovgruppen.

also wenn h die einzige p-Sylowgruppe ist, ist h auch normal, das ist bekannt. also meine beiden sylows sind normal.

bei abelschen gruppen ist es ja wohl so, dass sie das direkte produkt ihrer untergruppen sind.

ich glaube, ein schritt fehlt mir grad noch.

danke schon mal.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei abelschen gruppen ist es ja wohl so, dass sie das direkte produkt ihrer untergruppen sind. .

Ich hab' grad keine Ahnung was du damit aussagen willst.

Der Beweis meiner obigen Behauptung steht übrigens im Link unter g=>h.

Gute Nacht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da du ja "nur" wissen wolltest, ob die Gruppen abelsch sind, reicht auch folgendes Argument (welches die Struktur der Gruppe gar nicht direkt bestimmt, aber wenn wir wissen, dass die Gruppe abelsch ist, können wir ja eh den Struktursatz über abelsche Gruppen drauf loslassen).

Du hast ja schon herausgefunden, dass wir zwei Sylowgruppen haben mit , . Die sind beide normal.

Wie watcher bereits gesagt hat, gibt es jetzt (recht leicht zu zeigende) Sätze/Lemmata die, einem garantieren. Brauchen wir aber gar nicht. Es reicht uns eigentlich reine Teilertheorie und Lagrange:

und

und

Was folgt für sowie ?

Das letzte subtile Argument, dass wir brauchen, dass unter diesen Bedingungen und miteinander vertauschen. Dann folgt sofort, dass G abelsch ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, das ist nett.

Okay, hat Ordnung 1, besteht also nur aus dem neutralen Element. Und hat die gleiche Ordnung wie , ist also schon ganz .

Wenn ich mir , hernehme, ist , und damit liegt im Schnitt, ist also . Und aus folgt .

Und da und selbst ja auch abelsch sind, hat man alles beisammen. Fein.

Schon interessant, was man so alles über Gruppen erfahren kann, wenn man nur die Ordnung kennt.

Danke euch beiden.
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