Integral - Fläche zwischen Kurve + Gerade

30.04.2013, 18:18

Tipso

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Integral - Fläche zwischen Kurve + Gerade

hallo,

Zitat:

Die Kurve $\begin{eqnarray*} f ( x )=\frac{2}{9} ( x^2-4x-5) \end{eqnarray*}$ wird von der Geraden $\begin{eqnarray*} g ( x )= \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$ in zwei Punkten geschnitten. Berechnen Sie die von der Kurve und der Geraden eingeschlosseneFläche und skizzieren Sie die Situation.

Vorgehensweise:

Ich brauche meine Grenzen, welche die zwei Schnittp. darstellen.
Diese lässt sich durch gleichsetzen der beiden Funktionen finden.

Die Frage hier ist, ob ich nun beim Gleichsetzen die konstanten vor der Funktion weglassen darf. verwirrt

verwirrt

Warum

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------- verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} x^2-4x-5 = x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x-5 - (x+1)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-4x-5 - x -1)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-5x-6 = 0 \end{eqnarray*}$

PQ
x_1 = 6
x_2 = -1

Darf ich diese( konstanten ) bei der Flächenberechnung auch weglassen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}(x^2-4x-5) \, dx - \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{3} (x+1) \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-^1\frac{1}{9}) \, dx - \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{3} x+\frac{2}{3} \, dx \end{eqnarray*}$

=
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-1\frac{1}{9} - \frac{2}{3} x+\frac{2}{3}\, dx \end{eqnarray*}$
=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-1\frac{1}{9} - \frac{6}{9}x+\frac{6}{9}\, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{14}{9}x-\frac{4}{9}\, dx \end{eqnarray*}$

b.

Zitat:

skizzieren Sie die Situation

Wertetabelle für die Funktion und Gerade zwischen den Grenzen anfertigen.
Schauen welche Funktion oben liegt, da von dieser abgezogen wird.

30.04.2013, 19:10

Dopap

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immer diese Pseudoregeln verwirrt

verwirrt

und wie sollte man diese "Regel" begründen ?

4x=7x hat die Lösung x=0

x=x hat die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

das ist ein Gegenbeispiel und somit ist die "Regel" für den Mülleimer.

30.04.2013, 19:13

Tipso

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Bei der Nullstellenberechnung ignoriert man ja diese auch. verwirrt

verwirrt

Meine Rechnung ist richtig aber mein Rechenweg ist falsch?

30.04.2013, 19:20

Tipso

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RE: Integral - Fläche zwischen Kurve + Gerade
Ich brauche meine Grenzen, welche die zwei Schnittp. darstellen.
Diese lässt sich durch gleichsetzen der beiden Funktionen finden.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}x^2-\frac{14}{9}x-\frac{4}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{eqnarray*}$
ABC-Formel
x_1 = 7,07

x_2 =

Für ein Schulbeispiel sehr ungewöhnliche Grenzen. Big Laugh

Big Laugh

-----------------------------------------------

30.04.2013, 19:21

Yu

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RE: Integral - Fläche zwischen Kurve + Gerade

Zitat:

Original von Tipso
Ich brauche meine Grenzen, welche die zwei Schnittp. darstellen.

Die Schnittstellen trifft es eher.

Zitat:

Original von Tipso
Die Frage hier ist, ob ich nun beim Gleichsetzen die konstanten vor der Funktion weglassen darf. ?

Nein wieso auch. Das wären zwei ganz andere Funktionen dann. Du könntest sie weglassen, wenn die konstanten gleich wären.
Die Nullstellen sind ja nur von x abhängig. Aber die bei den 2 Funktionen sind sie wichtig.

Zitat:

Original von Tipso
Schauen welche Funktion oben liegt, da von dieser abgezogen wird.

Das ist eher unwichtig. Auch wenn du es falsch herum machst ist das nicht schlimm. Die Fläche wird nur negativ hat aber den gleichen Betrag. Setz einfach immer Betragsstriche, dann machst du nichts falsch.

30.04.2013, 19:26

Yu

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RE: Integral - Fläche zwischen Kurve + Gerade

Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9}x^2-\frac{14}{9}x-\frac{4}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

Prüfe das nochmal. Guck nochmal auf das c.

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30.04.2013, 19:31

Dopap

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also: weggelassen wird in Mathe eigentlich nie etwas.

Auch bei Nullstellen wird die Gleichung mit etwas multipliziert.

und hier: multipliziere zuerst mit 9/2 durch, dann reicht soger die pq-Formel.

30.04.2013, 19:36

Tipso

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hi,

Freude

Danke.
Theoretische Fragen sind ausgeräumt.

Schnittstelle bzw. Schnittpunkt, sind nicht beide Bezeichnungen richtig verwirrt

verwirrt

Freude

Da ich mit der ABC-Formel nicht zu den gewünschten Ergebnissen komme, versuche ich es mit der PQ-Formel nochmals, mit der ich mehr Erfahrung habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9}= \frac{6}{9} x+\frac{6}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9} - \frac{6}{9} x+\frac{6}{9}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{14}{9}x-\frac{6}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{28}{81}x-\frac{12}{81} = 0 \end{eqnarray*}$

x_1 = 0,86

x_2 = - 0,17

Mit Sicherheit auch falsch Hammer

Hammer

edit:
Thx Dopap, wird gerade verbessert.

30.04.2013, 19:39

Dopap

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ja!

warum multiplizierst du nicht vorher mit 9/2, das macht es für dich überschaubarer.

30.04.2013, 19:43

Tipso

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Verbesserung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9}= \frac{6}{9} x+\frac{6}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9} - \frac{6}{9} x+\frac{6}{9}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{14}{9}x-\frac{6}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{126}{18}x-\frac{54}{18} = 0 \end{eqnarray*}$

x_1 = 7,4

x_2 = - 0,41

Mit Sicherheit auch falsch Hammer

Hammer

30.04.2013, 19:44

Yu

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Wenn du nicht mit 9/2 multiplizierst solltest du die gleichung wenigstens richtig umstellen.
du bringst +6/9 auf die andere Seite und da steht wieder +6/9. Das muss doch - werden.

30.04.2013, 19:48

Tipso

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Danke für den Tipp @Yu

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} ( x^2-4x-5) = \frac{2}{3} *( x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9}= \frac{6}{9} x+\frac{6}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9}x-\frac{10}{9} - \frac{6}{9} x-\frac{6}{9}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} x^2 - \frac{14}{9}x-\frac{16}{9} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{126}{18}x-\frac{144}{18} = 0 \end{eqnarray*}$

x_1 = 8

x_2 = - 1

Sieht richtig aus. Freude

Freude

Gibt es hier Möglichkeiten meine Ergebnisse zu überprüfen?

z.B

Wie hätte ich meinen vorherigen Fehler selber erkannt.

lg

30.04.2013, 20:08

Yu

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Setz die Werte in beide Funktionen ein.
Wenn die Lösungen richtig sind müsste bei beiden Funktionen der gleiche Wert rauskommen.

30.04.2013, 20:20

Tipso

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Ich erhalte dasselbe, 6 und 0.
Dies sind die jeweiligen y-Werte der Schnittstellen.

Ist dies aber tatsächlich eine gute Probe?
Warum?

Wenn ich zb. 3 einsetze.

Berechnung der Fläche:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{9}(x^2-4x-5) \, dx - \int_{-1}^{6} \! \frac{2}{3} (x+1) \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{8} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-^1\frac{1}{9}\, dx - \int_{-1}^{8} \! \frac{2}{3} x+\frac{2}{3} \, dx \end{eqnarray*}$

=
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{8} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-1\frac{1}{9} - \frac{2}{3} x-\frac{2}{3}\, dx \end{eqnarray*}$
=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{8} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{8}{9}x-1\frac{1}{9} - \frac{6}{9}x-\frac{6}{9}\, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{8} \! \frac{2}{9}x^2-\frac{14}{9}x-\frac{16}{9}\, dx = \left[\frac{2}{27}x^3-\frac{14}{18}x^2-\frac{16}{9}x\right]_{-1}^{8} = - 26,07 - 0,9259 = - 26,99 Fe \end{eqnarray*}$

Vom Ergebnis den Betrag ziehen oder schon vorher verwirrt

verwirrt

01.05.2013, 11:34

Yu

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Das sieht richtig aus.

Zitat:

Original von Tipso
Vom Ergebnis den Betrag ziehen oder schon vorher ?

Naja ich weiß ja nicht wie euer Lehrer das möchte. Setz am besten überall den betrag, dann machste nichts falsch.

01.05.2013, 14:28

Tipso

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Unser Lehrer möchte eigentlich, dass wir erkennen, welche Funktion oben und welche unten ist.

Es gab aber bestimmte Regel dafür, wann der Betragsstrich gesetzt wird.
Ich glaube, es war nicht am Ende sondern von Anfang an verwirrt

verwirrt

Werde versuchen es in den Büchern herauszufinden.

lg

01.05.2013, 17:34

Dopap

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wenn du unbedingt herausfinden willst, welcher Graph oben liegt, dann berechne doch einfach 2 Funktionswerte ungefähr in der Mitte zwischen den Schnittstellen.

f(3)<g(3) ja oder nein?

01.05.2013, 18:06

Tipso

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hi,

Interessant wäre noch ob mein Ergebnis tatsächlich stimmt und

Zitat:

Es gab aber bestimmte Regel dafür, wann der Betragsstrich gesetzt wird.Ich glaube, es war nicht am Ende sondern von Anfang an.

Zitat:

f(3)<g(3) ja oder nein?

-1,77 < 2,66 = ja.

01.05.2013, 18:19

Dopap

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also ist $\begin{eqnarray*} A=\int_{-1}^{8}\, g(x)-f(x)\, \dd x \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 18:34

Tipso

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0,9259 -(- 26,07)= 26,99 Fe

Freude

Freude

01.05.2013, 19:30

Dopap

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solche numerischen Rundungen werden moniert ! Du musst das Bruchrechnen "durchziehen"

A=27 exakt.

01.05.2013, 19:50

Tipso

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hi,

Freude

Ich habe es nochmals nachgerechnet, es stimmt natürlich.

Ich wüsste aber jetzt nich auf Anhieb wie ich 26,07407407 bzw. 0,925925926 in Bruchform schreiben soll. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Es gab aber bestimmte Regel dafür, wann der Betragsstrich gesetzt wird.Ich glaube, es war nicht am Ende sondern von Anfang an.

01.05.2013, 20:10

Dopap

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ha ha, du darfst natürlich an keiner Stelle der Rechnung numerisch werden.

w.g. Betragsstriche: ich sage immer so: berechne das Integral J=...

wenn es negativ ist, dann folgt A=-J
wenn es positiv ist , dann folgt A=J

also am Ende etwas so : $\begin{eqnarray*} J=-77 \Rightarrow A=77 \end{eqnarray*}$

das hat den Vorteil, dass ich mir das Mitschleppen der Betragsstriche schenken kann.

01.05.2013, 20:13

Tipso

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Nie numerisch werden oder alle Stellen berücksichtigen. Freude

Freude

Betrag von negativem Ergebnis nehmen. Freude

Freude

Freude

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