Scoring mit quadratischer Funktion?
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30.04.2013, 22:03 Monkeys012 Auf diesen Beitrag antworten »
Scoring mit quadratischer Funktion?
Meine Frage:
Liebe Mathe-Gemeinde,

ich bin Hobby-Programmierer und stehe vor der Aufgabe, eine Scoring-Prozedur zu schreiben. Ich habe mir zunächst das Ganze einmal grafisch dargestellt. Meines Erachtens müßte das mit einer quadratischen Funktion zu lösen sein. Also mit einer nach unten geöffneten Parabel.

Zur Erläuterung: zu einem gegebenen Ausgangswert auf der X-Achse soll ein dazugehöriger Scoreing-Wert auf der Y-Achse geliefert werden. Dabei soll der Score-Wert zunächst mit dem Ausgangswert wachsen. Wenn der Ausgangswert aber einen bestimmten Wert überschreitet (also den Scheitelpunkt der Parabel), soll der Score-Wert wieder geringer werden.

Die Funktion soll folgende y-Werte liefern, wobei der Scheitelpunkt und jeweils EIN x-Wert immer bekannt sind:

x1 = 24 | x2 = 54; y = 0 (also die Nullstellen der Funktion)
x1 = 27 | x2 = 51; y = 1
x1 = 30 | x2 = 48; y = 2
x1 = 33 | x2 = 45; y = 3
x1 = 36 | x2 = 42; y = 4
x = 39 | ; y = 5 (Scheitelpunkt)

Hier nun meine Frage(n):
1. Wie sieht die Formel für GENAU diese Funktion aus?

2. Wie stelle ich ganz allgemein eine solche Formel auf (basierend auf gegebenen Scoring-Werten), wenn sich z.B. der Scheitelpunkt ändert?

Danke für Eure Hilfe im Voraus!

Gruß
Olaf

Meine Ideen:
Ein wenig Gnade! Ich bin seit 25 Jahren aus der Schule und weiß, daß man diese Aufgabe mit einer quadratischen Gleichung lösen kann. Das war's auch schon... - Leider! :-|
30.04.2013, 23:27 frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scoring mit quadratischer Funktion?
Es handelt sich bei der Funktion, die deine Werte beschreiben soll, nicht um eine Parabel, sondern um zwei Geraden. Die eine steigt linear mit Steigung 1/3 bis zum "Scheitelpunkt", die andere fällt ab dort mit Steigung -1/3.
Das ist leicht zu erkennen, weil die Abstände zwischen den X-Werten gleichbleiben.
01.05.2013, 02:04 Monkeys012 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scoring mit quadratischer Funktion?
Zuerstmal danke für die schnelle Antwort.
Allerdings hilft mir das nicht wirklich weiter... verwirrt Bei meinen bisherigen Recherchen war ich bereits soweit, daß ich das Ganze als Funktion (Parabel) darstellen konnte. Leider hat mir der "Online-Rechner" nur die Werte berechnet - ich benötige aber die Formel!

Womöglich habe ich mich auch nicht korrekt ausgedrückt:

Der Score-Wert (also Y) kann auch gebrochene Werte annehmen. Also z. B. zwischen 0 und 1, wenn x1 = 25 oder 26 ist und x2 = 52 oder 53. Er soll nur die genannten Y-Werte (entspricht dem Score-Wert) bei den gegebenen X-Werten liefern.

Soweit war ich schon mit Hilfe eines Online-Rechners - ich kann aber (nicht mehr) ableiten, wie dieser auf die folgende Berechnung kommt: Hammer

f(x) = -1/45·x² + 26/15·x - 144/5
= -1/45·(x - 39)² + 5

Scheitelpunkt: S( 39 | 5 )

Nullstellen: x1 = 24
x2 = 54

Aber wie bekomme ich die anderen Werte per FORMEL in den Graphen?!

Oder in anderen Worten: Ich suche eine Formel, die mir bei den genannten X-Werten den dahinter stehenden, dazugehörigen Y-Wert liefert, wobei bei X = 39 Y = 5 sein soll.

Any suggestions?
Danke!
01.05.2013, 12:12 gast2011 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scoring mit quadratischer Funktion?
Was frank09 Dir mitteilen wollte ist, dass es keine (quadratische) Formel geben kann, welche (alle) Deine Bedingungen/Wertepaare erfüllen/liefern kann.

Eine Funktionsgleichung 2.Grades ( y=ax²+bx+c) hat 3 Parameter und erfordert genau 3 Gleichungen.
Mit Deinen 6 Wertepaaren sind 6 Parameter bestimmbar ---> Das Gleichungssystem ist überbestimmt (nicht eindeutig lösbar).

Die berechnete Gleichung ( f(x) = -1/45·x² + 26/15·x - 144/5 = -1/45·(x - 39)² + 5 ) stimmt nur für die Nullstellen: x1 = 24; x2 = 54 und den Scheitelpunkt: S( 39 | 5 ) genau. Denn nur diese 3 Werte wurden zur Berechnung von a, b und c herangezogen.

Der Ausweg den linearen Zusammenhang ( y=mx + n ) bis und über den Scheitel zu unterscheiden, wurde schon aufgezeigt.
01.05.2013, 19:56 frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scoring mit quadratischer Funktion?
Wenn du auf eine Parabel "bestehst", also am Scheitelpunkt keinen Knick willst,
kannst du auf eine Parabel 10. Grades zurückgreifen, die durch alle deine Punkte geht. Du hast zwar 11 Punkte, die auf dem Graphen liegen müssen, für die Berechnung reichen aber fünf, wenn du zunächst den Scheitel der achsensymmetrischen Parabel in den Ursprung legst.
Allgemeine Form:


Deine verschobenen Punkte wären


Sie ergeben sich, indem du von deinen Punkten rechts des Scheitels die Koordinaten desselben abziehst (also x-39|y-5)

Einsetzen in die allg. Form führt zu folgendem Gleichungssystem:

576650390625a+2562890625b+11390625c+50625d+225e=-5
61917364224a+429981696b+2985984c+20736d+144e=-4
3486784401a+43046721b+531441c+6561d+81e=-3
60466176a+1679616b+46656c+1296d+36e=-2
59049a+6561b+729c+81d+9e=-1

Wegen der riesigen Koeffizienten bietet sich folgende Substitution an:
a'= 1 000 000 a
b'=10 000 b
c'=100 c

Mit Rundung ergibt sich

576650a'+256289b'+113906c'+50625d+225e=-5
61917,4a'+42998,2b'+29859,8c'+20736d+144e=-4
3486,78a'+4304,67b'+5314,41c'+6561d+81e=-3
60,4662a'+167,962b'+466,56c'+1296d+36e=-2
0,059049a'+0,6561b'+7,29c'+81d+9e=-1

Wenn du das gelöst hast, erkläre ich dir, wie man die Funktion in einen bestimmten Scheitelpunkt verschiebt.
01.05.2013, 22:58 Monkeys012 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scoring mit quadratischer Funktion?
@Frank09 und Gast2011:

Zunächst danke für Eure ausführlichen Antworten. Ich hatte bereits eine Rückmeldung geschrieben, aber die ist offenbar nicht eingestellt worden (vermutl. mein Fehler).

Also ich greife zunächst mal den Vorschlag mit der linearen Lösung auf! smile

Ich will schließlich nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen, sondern eine Lösung des Problems herbeiführen. Wie eingangs erwähnt: Es ist für mich ein Hobby und keine Profi-Beschäftigung. Also an einer Parabel 10. Grades werde ich mich bestimmt NICHT versuchen, wenn ich bereits an einer ersten Grades scheitere... smile ))

Danke für Eure Hilfe!
Lineare Gleichung sollte ich noch hinbekommen!

LG
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