Volumensintegral - Gefäß

30.04.2013, 23:36

Tipso

Volumensintegral - Gefäß

Hallo,

Zitat:

Der Umriss eines Rotationsgefäßes wird durch die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{3x+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$ beschrieben. Skizzieren Sie das Gefäß mit seinen wesentlichen Maßen und berechnen Sie seinen Rauminhalt.Auf welcher Höhe müsste eine Anzeige für 1 cl angebracht werden?

Vorgehen:

Grenzen = 0 - 4

Es handelt sich um ein rotierendes Gefäß also Volumensintegral.

$\begin{eqnarray*} A_g = \pi \int_0^4 \! \left(\sqrt{3x+1}\right)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

hier Quadriere ich meine Funktion oder ich muss beim Aufleiten(Integrieren) die verkettete Funktion berücksichtigen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kompliziert!!
$\begin{eqnarray*} A_g = \pi \int_0^4 \! 3x+1 \, dx \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} A_g = \pi \left[\frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = \pi28 Fe \end{eqnarray*}$

wenn es soweit stimmt, mache ich weiter mit Aufgabe b.

lg

01.05.2013, 00:44

Dopap

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das stimmt soweit !

01.05.2013, 00:58

Tipso

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Dann will ich versuchen die Aufgabe zu Ende zu bearbeiten.(machen/bringen).

Demnach handelt es sich um cl - centiliter verwirrt

als Einheit.

Zitat:

Auf welcher Höhe müsste eine Anzeige für 1 cl angebracht werden?

gesucht ist hier b.

$\begin{eqnarray*} A_b = \pi \int_0^b \! 3x+1 \, dx = 1 cl =A_b = \pi \left[\frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{b} = 1 cl \end{eqnarray*}$
Notation falsch?
=

$\begin{eqnarray*} A_b = \pi \left[\frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{b} = 1 cl=\pi \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = 1 cl \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b^2 + 2b = \frac{1}{\pi} *2 \end{eqnarray*}$
verwirrt

Wie stelle ich hier auf b um verwirrt

01.05.2013, 22:38

Dopap

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das ist doch offensichtlich eine quadratische Gleichung !

01.05.2013, 22:53

Tipso

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Leider weiß ich nicht mehr warum aber wir verwenden hier die PQ-Formel, da sie sonst nicht lösbar ist.

$\begin{eqnarray*} 3b^2 + 2b = \frac{1}{\pi} *2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b^2 + 2b-(\frac{1}{\pi} *2) = 0 \end{eqnarray*}$

ABC - Formel oder durch 3 dividieren und daraufhin die PQ-Formel verwenden.

$\begin{eqnarray*} b^2 + \frac{2}{3}b-(\frac{1}{\pi3} *2) = 0 \end{eqnarray*}$

b_1 = 0,289

b_2 = - 0,734

Die Frage ist nun, welches von beiden richtig und welches falsch ist.
Warum ich zwei Ergebnisse erhalte.

Ps.
Ich bin sehr müde und werde deshalb für heute Schluss machen.
Danke für deine Hilfe. Freude

Edit:
Aufgrund Einschlafprobleme wieder online. Big Laugh

02.05.2013, 01:02

Dopap

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b=0.2353

ein negatives Ergebnis ist irrelevant, da $\begin{eqnarray*} b\geq 0 \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 01:17

Tipso

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Hatte es falsch in den Taschenrechner eingegeben.

Ich erhalte zwei Ergebnisse wegen der Wurzel. verwirrt

Die Aufgabe ist damit erledigt, die Grenze beträgt 0, 235.

Hier ist dann noch die Probe zu machen um sicher zu gehen, dass die Aufgabe richtig gelöst wurde.

lg Freude

02.05.2013, 01:26

Dopap

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uuups! nochmals zurück!

es sind ja 1cl=10 cm^3, sofern die Einheit 1cm bei der Funktion ist, was ich stark annehme.

02.05.2013, 01:33

Tipso

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b_1 = 4,05 cm^3

b_2 = - 4,72

ersteres ist richtig da es zweiteres nicht geben kann.

lg

02.05.2013, 01:55

Dopap

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b=1.161 cm

02.05.2013, 02:04

Tipso

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Warum plötzlich cm und nicht mehr cm^3 verwirrt

$\begin{eqnarray*} A_b = \pi \left[\frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{b} = 1 cl=\pi \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = 1 cl \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = 10cm^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{3b^2}{2} + b \right] = \frac{10}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b^2 + 2b = \frac{10}{\pi} *2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3b^2 + \frac{2}{3}b - \frac{20}{3\pi} = \end{eqnarray*}$

b_1 = 1,16

b_2 = - 1,827715 Freude

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