Normalverteilung - produzieren von Gegenständen

01.05.2013, 05:32

Tipso

Normalverteilung - produzieren von Gegenständen

Zitat:

Hallo,

Zitat:

Eine Maschine produziere Gegenstände mit einer mittleren Masse von 2,2 kg. 80% des
Outputs sollen zwischen 2,1 kg und 2,3 kg liegen.
Auf welche maximale Standardabweichung muss die Maschine eingestellt werden?

$\begin{eqnarray*} \mu = 2,2 kg \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(2,1 \leq x\leq 2,3) = 80 % \end{eqnarray*}$

ges. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

Soweit sollte es passen.
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter.

Welche Formel benötige ich hier verwirrt

01.05.2013, 15:11

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Damit sich 80% der Fläche der Standardnormalverteilung in einem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert befindet, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1=80% \end{eqnarray*}$

Die Zufallsvariable Z ist die standardisierte Zufallsvariable: $\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-2,2}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Da die obere Grenze und die unter Grenze, des Intervalls, den gleichen Abstand zum Erwartungswert haben, gilt weiter $\begin{eqnarray*} |X-2,2|\leq 0,1 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)-1=80% \end{eqnarray*}$
Das entspricht im Prinzip deiner Gleichung $\begin{eqnarray*} P(2,1 \leq x\leq 2,3) = 80 % \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung muss jetzt gelöst werden.

Grüße.

01.05.2013, 17:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier ziemliche Verstädnisprobleme.

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1=80% \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ ?
Warum 2?

z steht doch für die Fläche von einer Standartnormalverteilung.

--------------

$\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-2,2}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Was ist hier X?

$\begin{eqnarray*} \sigma = \end{eqnarray*}$

--------------

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)-1=80% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)=1,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{0,1}{\sigma} \right)=\frac{1,8}{2\Phi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,1=\frac{1,8}{2\Phi}*\sigma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{0,1*2\Phi}{1,8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\Phi \end{eqnarray*}$ verwirrt

01.05.2013, 19:00

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso

Was ist $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ ?
Warum 2?

z steht doch für die Fläche von einer Standartnormalverteilung.

$\begin{eqnarray*} \Phi(z \end{eqnarray*}$ ) ist die Wert, den die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bei z annimmt. Es ist die Fläche der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung unterhalb des Wertes z. Dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ die doppelte Fläche.

Wie man jetzt zu dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ kommt, ist rechnerisch hier beschrieben.

In der angehängten Grafik ist der blaue Flächenteil deine gesuchte Fläche. $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist die rechte rote Fläche + die blaue Fläche. $\begin{eqnarray*} \Phi(-z) \end{eqnarray*}$ ist nur die rechte rote Fläche.

Und alle drei Flächen zusammen (Fläche der ganzen Dichtefunktion) ergeben 1.

Versuch mal mit der Grafik die Umformungen auf der verlinkten Seite nachzuvollziehen.

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-2,2}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Was ist hier X?

$\begin{eqnarray*} \sigma = \end{eqnarray*}$

X ist deine Zufallsvariable. X=Masse eines produzierten Gegenstandes.

$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist die (Standard-)Abweichung der Masse des produzierten Gegenstandes.

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)-1=80% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)=1,8 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig. $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ kannst du aber so nicht auflösen. Du sollltest jetzt die Gleichung durch 2 teilen. Dann in der Tabelle der Standardnormalverteilung den Wert raussuchen, bei dem z den Wert 0,9 annimmt.

01.05.2013, 19:21

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Ich habe es dank der Grafik fast verstanden.

Es müsste doch aber $\begin{eqnarray*} 1-2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ sein, da ich ja ein negative Fläche im zweiteren Fall erhalte. verwirrt

Allgemein finde ich mathematische Texte sehr schwer zu verstehen, ich werde deshalb ein wenig Zeit brauchen, bis ich es verstanden habe.
Gelesen habe ich es auf jeden Fall. Freude

b.
X ist deine Zufallsvariable. X=Masse eines produzierten Gegenstandes.

Warum ist diese 2,3 verwirrt

c.

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)-1=80% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)=1,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)=\frac{1,8}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,81594 \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 20:49

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Es müsste doch aber $\begin{eqnarray*} 1-2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ sein, da ich ja ein negative Fläche im zweiteren Fall erhalte. verwirrt

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist ja auf jeden Fall größer 1, da $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ mehr als die Hälfte der Gesamtfläche (linke Rote Fläche + blaue Fläche) ist. Somit ist der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ positiv.

Zitat:

Original von Tipso
b.
X ist deine Zufallsvariable. X=Masse eines produzierten Gegenstandes.

Warum ist diese 2,3 verwirrt

Wenn man noch nicht standardisiert, dann ist $\begin{eqnarray*} F(x=2,3) \end{eqnarray*}$ die linke rote Fläche + die blaue Fläche. F(x) ist die Normalverteilung (nicht Dichtefunktion).
Äquivalent ist dann $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ die linke rote Fläche + die blaue Fläche der Standardnormalverteilung.

Der andere Fall wäre:

Wenn man noch nicht standardisiert, dann ist $\begin{eqnarray*} F(x=2,1) \end{eqnarray*}$ die linke rote Fläche .F(x) ist die Normalverteilung (nicht Dichtefunktion).
Äquivalent ist dann $\begin{eqnarray*} \Phi(-z) \end{eqnarray*}$ die linke rote Fläche der Standardnormalverteilung.

Zitat:

Original von Tipso
c.

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,81594 \end{eqnarray*}$

Du hast die Tabelle falsch herum gelesen. Du solltest zu der Wahrscheinlichkeit 0,9 den entsprechenden z-Wert suchen. Die Wahrscheinlichkeiten stehen innerhalb der Tabelle. Die 1. Spalte (in Kombination mit der ersten Zeile) sind die z-Werte, die du suchst.

Eigentlich muss man die erste Zeile noch so umformen, dass man auch die Umkehrfunktion deutlich macht:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, jetzt suchst du dir den z-Wert heraus, bei der die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} Z \leq z \end{eqnarray*}$ am nächsten von 0,9 ist.

01.05.2013, 21:39

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung

$\begin{eqnarray*} \Phi*\Phi^{-1}\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= \Phi^{-1}0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ = Fläche - z

----------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Eigentlich muss man die erste Zeile noch so umformen, dass man auch die Umkehrfunktion deutlich macht:

Verstehe ich leider nicht obwohl ich weiß was du meinst.

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\ \end{eqnarray*}$ - ist nun eine negative Fläche die ich von meinem Z abziehe.

..............................................

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left(1,285 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{0,1}{\Phi^{-1}\left(1,285 \right)} \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 22:33

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Umformung ist richtig.

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

Ich würde insbesondere deine Nebenrechnung weglassen. Die ist nicht sinnvoll.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nun eine negative Fläche die ich von meinem Z abziehe.

Nein. $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du den z-Wert suchst, bei dem die Wahrscheinlichkeit 0,9 ist, dass $\begin{eqnarray*} Z \text{(Zufallsvariable)} \leq z \end{eqnarray*}$
0,9 wäre die positive Fläche.
Und zwar die rechte rote Fläche + die blaue Fläche.

Der Wert für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$ mit 1,285 ist aber richtig. Freude

Ich hätte ähnlich interpoliert, da der Wert z-Wert für 0,9 nicht in der Tabelle angegeben ist. Üblicherweise nimmt man den Wert 1,28 als Schätzung.
Der relativ exakte Wert ist 1,282 (Online-Rechner).

Die 1,285 kannst du jetzt für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$ in die Gleichung
einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = 1,285 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du nach $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ auflösen und den Wert bestimmen.

Die letzten beiden Gleichungen stimmen formal nicht, denn $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right)=1,285 \end{eqnarray*}$ .

01.05.2013, 23:02

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = 1,285 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{0,1}{1,285} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = 0,0778 \end{eqnarray*}$

------------------------------

Zitat:

Die 1,285 kannst du jetzt für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$ in die Gleichung einsetzen.

Unterschied
$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

ist mir jetzt nicht klar.
Beide mal sind Flächen damit gemeint.

01.05.2013, 23:35

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung ist richtig.

Ansonsten bleib einfach, inbesondere für die Vorstellung, bei der Grafik der Standardnormalverteilung. Du brauchst die konkrete Umkehrfunktion ja nicht.
Sondern du suchst den z-Wert bei der die Fläche unter der Dichtefunktion im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty,z] \end{eqnarray*}$ =0,9 ist.

Beziehungsweise $\begin{eqnarray*} z=\Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$

Rechnerisch macht man es genauso wie du es gemacht hast.

02.05.2013, 00:00

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe.
Freude

02.05.2013, 00:06

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne.

02.05.2013, 17:26

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Um hier sicher zu gehen:
$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

entspricht der negativen linken Seite der Fläche.

lg

02.05.2013, 18:23

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, ob ich die Frage richtig verstanden habe. Ich versuch mal eine Antwort. Ansonsten die Frage präzisieren.

Nein, wenn überhaupt, dann ist z negativ. Aber bei $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=0,9 \end{eqnarray*}$ ist z positiv.

Die angehängte Grafik ist die Dichte der Standardnormalvereilung. Dort ist $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ , wo der Gipfel ist.

Für die Verteilungsfunktion gilt dann: $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=\Phi(0)=0,5 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \Phi(z)>0,5 \end{eqnarray*}$ . Das wäre dann im Prinzip die rechte rote Fläche und die blaue Fläche.

Jetzt ist bei dir $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=0,9 \end{eqnarray*}$ . Das ist dann auch die rechte rote Fläche und die blaue Fläche. Der zugehörige z-Wert ist dann auch $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ . Konkret: $\begin{eqnarray*} z \approx 1,285 \end{eqnarray*}$

Da die blaue Fläche = $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ ist, entspricht 80% der Fläche gleich $\begin{eqnarray*} 2\Phi(z)-1 \end{eqnarray*}$ Und damit kann man mit $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=0,9 \end{eqnarray*}$ den zugehörigen z-Wert bestimmen um die blaue Fläche auszurechnen.

02.05.2013, 22:17

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt auch etwas verwirrt.

Warum leistet die Stetigkeitskorrektur überhaupt eine bessere Approximation?

Ich verstehe die negative Hochzahl hier nicht, warum bedeutet dies lediglich eine negative Fläche.

Die Umkehrfunktion davon ist ja nicht $\begin{eqnarray*} - \Phi \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Phi} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$
entspricht der negativen linken Seite der Fläche.

03.05.2013, 02:00

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Warum leistet die Stetigkeitskorrektur überhaupt eine bessere Approximation?

Weil man damit in die Mitte der diskreten Teilintervalle kommt. Hier ist es animiert dagestellt.

Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist weder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Phi(z)} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} -\Phi(z) \end{eqnarray*}$ . Es ist einfach die Umkehrfunktion.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y=3\cdot x+5 \end{eqnarray*}$

Dann bildet man die Umkehtfunktion, in dem man nach x auflöst und die Variablen vertauscht.

$\begin{eqnarray*} y=3 \cdot x +5 \ \ \ | \ -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-5=3 \cdot x\ \ \ | \ :3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y-5}{3}=x \end{eqnarray*}$

Variablen vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{3}=y \end{eqnarray*}$

Somit ist die Umkehrfuntion von y(x) gleich $\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

Die -1 hier besagt einfach nur, dass es die Umkehrfunktion von y(x) ist. Wie sie konket aussieht, darüber wird erstmal nichts gesagt. Die konkrete Umkehrfunktion brauchst du auch nicht, da du die Tabelle hast.

Grüße.

03.05.2013, 02:12

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte es wäre eine Umformung nach diesem Schema.

$\begin{eqnarray*} \Phi\frac{0,1}{\sigma} = \left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi*\Phi^{-1}\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= \Phi^{-1}0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\Phi}{\Phi} *\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= \Phi^{-1}0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= \Phi^{-1}0,9 \end{eqnarray*}$

Danke für die Tipps. Freude

Ich muss mich einlesen. smile

03.05.2013, 02:20

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Da man die konrete Funktion nicht kennt ist die Umformung einfach:

Zitat:

Original von Kasen75
Diese Umformung ist richtig.

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

So würde ich es machen.

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$ jetzt einfach in der Tabelle nachschlagen. Hast du ja schon gemacht.

Ich habe dir gerne weitergeholfen. smile

Grüße.

03.05.2013, 19:46

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Ich habe mir hierfür einen Tag Zeit gelassen, dennoch bin ich mir hier noch unsicher.

Wir kennen die konkrete Funktion nicht verwirrt

Meine Umformung - Begründung davon ist richtig oder ist diese hier falsch(egal) verwirrt

03.05.2013, 21:57

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wir kennen die konkrete Funktion nicht

Schau dir mal die Formel für Normalverteilung an. Sie ist eigentlich nur als Integral dargestellt. Somit gibt es nicht mal für die Verteilungsfunktiion eine explizite Darstellung. Geschweige denn für die Umkehrfunktion. Aber zum Glück hat man ja die Tabelle bzw. Taschenrechner, die die Werte einem möglicherweise ausgeben können.

Deine Umformung stimmt aus verschiedenen Gründen nicht.

1. Du hast hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi*\Phi^{-1}\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= \Phi^{-1}0,9 \end{eqnarray*}$

für das linke $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ kein Argument. Außerdem stimmt das *-Zeichen nicht. Des Weiteren fehlt die Klammer für das Funktionsargument auf der linken Seite.

Wenn dann müsste es so aussehen: $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left(\Phi \left(\frac{0,1}{\sigma} \right) \right)= \Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite wird jetzt die Umkehrfunktion der Funktion gebildet. Dies ergibt dann das Argument an sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt: Du kannst die Funktion nicht vom Funktionsargument trennen. Die gehören untrennbar zusammen. Genau dies hast du aber gemacht, bei deiner weiteren Umformung.

Du scheinst auch irgendwie Schwierigkeiten mit der Interpretation der "hoch -1" zu haben.

Es ist richtig, dass $\begin{eqnarray*} (y(x))^{-1}=\frac{1}{y(x)} \end{eqnarray*}$ ist.

In meinem kleinen Beispiel wäre das: $\begin{eqnarray*} (y(x))^{-1}=\frac{1}{3x+5} \end{eqnarray*}$

Jedoch bedeutet $\begin{eqnarray*} y^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ . Die hoch -1 ist hier direkt hinter der Funkion und vor dem Argument. Wie bei der Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion.
In meinem kleinen Beispiel wäre das: $\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 22:18

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

In der Tat habe ich Lücken.(im Verständnis).

a.
$\begin{eqnarray*} (y(x))^{-1}=\frac{1}{3x+5} \end{eqnarray*}$
b.
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$
c.
$\begin{eqnarray*} y(x) = 3x+5 \end{eqnarray*}$

b.
Ist für mich nicht nachvollziehbar.
verwirrt

Ich verstehe nicht warum.
y(x)= Funktion jedem x wird ein y-zugeordnet.

y ist demnach ein Wert, eine Zahl.

$\begin{eqnarray*} y(2) = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) = 3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

aber
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$ verwirrt

03.05.2013, 22:24

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt mal in die letzte Gleichung für x=11 ein, was bekommst du raus?

Es wird somit nicht der 2 die Zahl 11 zugordnet, wie bei y(x), sondern $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ ?

Edit:

Das stimmt nicht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) = 3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

Die -1 muss hinter das Funktionsargument. Am Besten mit einer Klammer. Des Weiteren musst du dann auch die Funktion in den Nenner schreiben.

$\begin{eqnarray*} (y(2))^{-1} = \frac{1}{3x+5}= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 22:41

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(11)=\frac{11-5}{3} = 2 \end{eqnarray*}$

sondern der 11 die 2. verwirrt

........................................

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) = 3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

Ich hatte es hier total falsch verstanden, im Sinne von.

$\begin{eqnarray*} y(2) = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} y^1(2) = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

einfach 1/das Ergebnis von y(2).

Die Gleichung durch 1 zu dividieren macht die Sache natürlich logischer.
bzw. Es ist wohl eines der Rechenoperationen, für die man sich geeinigt hat. smile

04.05.2013, 00:16

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tipso,

Der erste Teil ist richtig. Dem Wert 11 wird der Wert 2 zugeordnet. Dagegen wird bei y(x) dem Wert 2 der Wert 11 zugeordnet.

Sonst wäre es nett, wenn du deinen restlichen Beitrag nochmal überarbeiten würdest. Ich weiß im Moment nicht, welche Gleichung du als richtig ansiehst und welche nicht.

Und mache bitte deutlich, was jetzt die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} y^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ , die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y(x))^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Es war ja: $\begin{eqnarray*} y(x)=3x+5 \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 00:34

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

1.
So soll es ja bei einer Umkehrfunktion sein.
Wie hast du dies gemacht?

Von
$\begin{eqnarray*} y = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

Auf
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------

Ich habe

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) = 3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

für richtig gehalten, da ich dachte.

$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist ein Wert, $\begin{eqnarray*} y^{-1} \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{-1} = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
weil
$\begin{eqnarray*} y = 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{-1}=\frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

Ich hätte die Funktion aber beibehalten.

Also
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2)=3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

lg

04.05.2013, 01:37

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
hi,

1.
So soll es ja bei einer Umkehrfunktion sein.
Wie hast du dies gemacht?

Von
$\begin{eqnarray*} y = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

Auf
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

Das steht im gestrigen Beitragen von 02:00.

Zitat:

Original von Tipso

Ich habe

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) = 3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

für richtig gehalten, da ich dachte.

Ich wiederhole mich gerne. Wenn du die -1 zwischen y und dem Argument schreibst, dann bedeutet dies, dass es die Umkehrfunktion ist. So ist z.B. die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} cos^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist ein Wert, $\begin{eqnarray*} y^{-1} \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{-1} = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
weil
$\begin{eqnarray*} y = 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{-1}=\frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich die zustimmen. Wenn y=11 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} y^{-1}=\frac{1}{11} \end{eqnarray*}$ Hier ist aber y keine Funktion mehr, sondern ein konkreter Wert.

Zitat:

Original von Tipso

Ich hätte die Funktion aber beibehalten.

Also
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(2)=3x+5= \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

lg

Beide Gleichheitszeichen stimmen nicht.

1. Mit $\begin{eqnarray*} y^{-1}(2) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion gemeint.

2. Auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$ kommst du nur, wenn du in den Kehrwert der Funktion y den Wert 2 einsetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x+5} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} (y(2))^{-1}=\frac{1}{2\cdot 3+5}=\frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

Schöner sieht es natürlich aus, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y(2)} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (y(2))^{-1} \end{eqnarray*}$ schreibt.

Nächtliche Grüße.

04.05.2013, 01:56

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das mit hoch -1 hatten wir schon mehrfach:

Zitat:

das hatten wir schon mal diskutiert. $\begin{eqnarray*} \arccos(x) \end{eqnarray*}$ ist die mathematische Schreibweise =
arcus ( der Bogen ) dessen cosinus x ist.

Etwas lax werden Umkehrfunktionen auch gelegentlich mit einem hochgestellten -1 symbolisiert, obwohl strenggenommen das Inverse gemeint ist.

streng: $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(x) = (\cos(x))^{-1}= \frac {1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

lax: $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(x) =\arccos(x) \end{eqnarray*}$

jetzt merk dir doch endlich mal, dass bei $\begin{eqnarray*} f^{-1} (x) \end{eqnarray*}$ immer die Umkehrfunktion gemeint ist.
Ich persönlich bevorzuge $\begin{eqnarray*} \overline {f}(x) \end{eqnarray*}$ als Symbol für die Umkehrfunktion.

sorry Kasen, aber wegen "crossfragen" muss das mal sein.

04.05.2013, 09:43

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Tipso

Von
$\begin{eqnarray*} y = 3x+5= 11 \end{eqnarray*}$

Auf
$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=\frac{x-5}{3} \end{eqnarray*}$

[/quote

Hi nochmal, Freude

Wie ist demnach letzteres zu verstehen.

Wenn =

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(x)=(y(x))^{-1}= \frac{1}{y(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{-1}(11)=\frac{x-5}{3}= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y(11))^{-1}=\frac{1}{3x+5}= \frac{1}{38} \end{eqnarray*}$

verwirrt

04.05.2013, 09:47

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Um hier den Bezug nicht zu verlieren zur Aufgabe und zu deren Problemstellung.

Ich nehme von 0,9 die Umkehrfunktion und deshalb verschwindet die Funktion von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{0,1}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 18:31

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich bin an diesem Punkt leider noch nicht weiter gekommen.

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} 1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}\left(\Phi \left(\frac{0,1}{\sigma} \right) \right)= \Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$

Warum hebt sich hier einmal negative Fläche und einmal positive Fläche auf.

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}(0,9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y(x))^{-1}=\frac{1}{y(x)} \end{eqnarray*}$

Wir dividieren durch die Fläche verwirrt

07.05.2013, 19:05

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} 1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$
(

Die Gleichung stimmt nicht. Richtig ist $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$

Die rechte rote Fläche ist genauso groß wie die linke rote Fläche.

$\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung bedeutet: linke rote Fläche = Gesamtfläche - (linker roter Fläche + blaue Fläche)
= Gesamtfläche - rechter roter Fläche - blaue Fläche

Was du dir merken solltest: $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion. . $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist die Fläche bis zum z-Wert. Bei dir ist jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha=0,9 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \neq \frac{1}{\Phi(\alpha)} \end{eqnarray*}$

Es ist besser $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu schreiben, da bei der Umkehrfunktion die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gegeben ist, und der entsprechende z-Wert gesucht ist.

07.05.2013, 21:56

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist zwar an sich dasselbe aber:

Diese Gleichung bedeutet: linke rote Fläche = Gesamtfläche - (linker roter Fläche + blaue Fläche) = Gesamtfläche - rechter roter Fläche - blaue Fläche

könnte man ja auch nochmals linker schreiben.

Nun heißt es einmal

$\begin{eqnarray*} x^{-1} = \frac{1}{x^1} \end{eqnarray*}$

aber gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$

Rein von der Logik verstehe ich es schon, jedoch ist mir die Notation noch unklar.

lg

07.05.2013, 22:26

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
verwirrt

Das ist richtig. Es sollte auch linke rote Fläche stehen. Ich hab´s durcheinander gebracht.
Von der Fläche her würde es betragsmäßig sogar stimmen, da die beide roten Flächen gleich groß sind. Aber von der Systematik her ist $\begin{eqnarray*} \Phi(z)= \end{eqnarray*}$ linke rote Fläche + blaue Fläche Freude

Zitat:

Original von Tipso

Nun heißt es einmal

$\begin{eqnarray*} x^{-1} = \frac{1}{x^1} \end{eqnarray*}$

x ist ersmal keine Funktion. Deswegen kannst du hier auch keine Umkehrfunktion bilden. Das ist einfach nur die Inverse von x. Das hat mit einer Umkehrfunktion nichts zu tun. Vergiss die Inverse für dieses Thema einfach mal. Darum geht es hier einfach nicht. Wenn überhaupt, dann geht es um Umkehrfunktionen.

Zitat:

Original von Tipso

aber gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$

Rein von der Logik verstehe ich es schon, jedoch ist mir die Notation noch unklar.

Das hat mit einer Umkehrfunktion aber auch nichts zu tun. $\begin{eqnarray*} \Phi(-z) \end{eqnarray*}$ ist einfach die rote Fläche. Die ist aber nicht tabelliert. Über den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi \left(z\right) \end{eqnarray*}$ kann man ihn aber trotzdem ermitteln.

Das hat nicht mit $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ zu tun.

07.05.2013, 22:50

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe es verstanden.

Mit meinem Worten.

Wir haben eine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 3x \end{eqnarray*}$

Ich kann nun auf beiden Seiten die Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{3x} \end{eqnarray*}$

Wurzel ist die Umkehrfunktion von quadrat(hochzahl).

Analog verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 23:07

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast wahrscheinlich das richtige gedacht. Nur ist das hier $\begin{eqnarray*} x^2 = 3x \end{eqnarray*}$ ist keine Funktion, da nur eine Variable in der Gleichung vorhanden ist. Des Weiteren ist bei einer Funktion nach einer Variablen aufgelöst.

Schau dir mal das Beispiel an, dass ich gepostet hatte. Hier siehst du wie aus einer Funktion eine Umkehrfunktion wird. Die Funktion war $\begin{eqnarray*} f(x)=y=3x+5 \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich.

Dann hast du aber recht, dass man das auf $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ übertragen kann.

$\begin{eqnarray*} f(x)=y=3x+5 \end{eqnarray*}$
Hier bestimmt man für einen gegebenen x-Wert einen y-Wert.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=x=\frac{y-5}{3} \end{eqnarray*}$
Hier bestimmt man für einen gegebenen y-Wert einen x-Wert.

07.05.2013, 23:10

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, Fläche bis hier hin.

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ bedeutet, Fläche weg, von hier weg.

Den Rest habe ich vom Ansatz her verstanden. Freude

07.05.2013, 23:48

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Freude

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ bedeutet, Fläche weg, von hier weg.

Nein. Es ist prinzipiell die gleiche Fäche gemeint. Also die Fläche bis z. Nur das z noch nicht bekannt ist. Man kennt aber $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Durch das bekannte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man durch die Tabelle dann aber den dazugehörigen z-Wert bestimmen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, Fläche bis hier hin.

Das stimmt.

08.05.2013, 00:02

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Das Schema habe ich schon verstanden.

Umkehrung ist normalerweiße doch das Rückgängig machen von etwas.

In diesem Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} \phi (0,5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi^{-1} (2,00) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1} (0,5) \Rightarrow z = 00 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(0,5)= 0,69146 \end{eqnarray*}$

Freude

Das man es einfach so umstellen kann ist mir eigentlich neu. Ich kenne ähnliches nur von Wurzel und Quadrat. Geht also auch in anderen Bereichen.

+ -
* / etc.

08.05.2013, 00:23

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1} (0,5) \Rightarrow z = 00 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(0,5)= 0,69146 \end{eqnarray*}$

Das ist auf jeden Fall richtig. Freude

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1} (2,00) \end{eqnarray*}$ steht in keinem Zusammenhang mit den anderen Werten.
Der Wert 2 macht auch keinen Sinn, da Wahrscheinlichkeiten nie größer als 1 sind.

08.05.2013, 00:33

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe.

Ich wundere mich zwar noch etwas darüber, das zuerst in der Gleichung eine Seite mit der Flächenangabe steht und eine andere Seite mit einer Zahl.

Danach mache ich die Umkehrfunktion.
Eine Seite wird zur Zahl, von der Flächenangabe und die andere Seite zu einer Funktion, die mir den z-Wert angibt. Die also selber eigentlich eine Fläche in Prozent angibt.

Ich meine diesen Rechenvorgang:

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0,1}{\sigma} \right)= 0,9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,1}{\sigma} = \Phi^{-1}\left( 0,9 \right) \end{eqnarray*}$

Das zweite sagt mir doch etwas anderes. Es sagt mir, dass eine Zahl durch Sigma das Gleiche ist wie der z-Wert zu 90 %.
smile

Ich werde mir die Methode merken. thx.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Normalverteilung - produzieren von Gegenständen

Verwandte Themen