Zusammenhang Funktion und Ableitung

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Gast01 Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Funktion und Ableitung
Meine Frage:
Hi smile
Ich habe folgende Vorgaben für eine Funktion:
(1) f(x): [0,+ unendlich) --> [0,+ unendlich) stetig differenzierbar
(2) f'(x) ist monoton fallend

Meine Ideen:
Ich habe schon vieles versucht, aber es hat nicht so wirklich geklappt.
Was ich mir aber überlegt habe, vielleicht könnte man eine konstante Funktion nehmen, da f'(x)=0 theoretisch monoton fallend ist, aber ich bin mir da nicht sicher.

Könnte mir vielleicht jemand ein bisschen helfen? Das wäre echt super nett smile
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Funktion und Ableitung
nimm doch eine stetig differenzierbare reelle konkave Funktion?
Gast01 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Funktion und Ableitung
Ich habe noch den 3. Punkt vergessen Hammer
(3) f soll nicht monoton wachsend sein
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Funktion und Ableitung
Naja damit das ding nicht monoton steigend ist .. muss für die Ableitung gelten:


Also ist deine Annahme nicht falsch Big Laugh
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Funktion und Ableitung
nimm doch f(x) = 1 Big Laugh
Gast01 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Funktion und Ableitung
Ok, also wäre eine konstante Funktion die einzige Lösung?
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine konstante Funktion ist aber monoton wachsend.

Bist du dir sicher, dass du tatsächlich eine solche Funktion finden sollst und nicht widerlegen, dass sie existiert?
Gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bin ich mir...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir ziemlich sicher, dass es so eine Funktion nicht gibt(hab mir einen Beweis überlegt und sofern da kein Fehler drin ist, stimmt das auch).
Gast01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielleicht ist es auch ein Druckfehler verwirrt

Wie könnte man denn das beweisen, dass es so eine Funktion nicht gibt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich werden hier prinzipiell keine Komplettlösungen rausgegeben aber da es ja nicht deine Aufgabe war, das zu zeigen und es im Prinzip auch dein Problem wäre(weil du dann nichts lernst), falls das nur eine Masche war, um dieses Prinzip zu umgehen, hier eine Möglichkeit, das zu zeigen:


Angenommen es gebe eine Funktion f mit:

(1) stetig differenzierbar

(2)f nicht monoton wachsend

(3)f' monoton fallend

Dann:

Aus (2) folgern wir:




Wähle y und x nach obiger Aussage.

Mittelwertsatz:


Nebenbei nach (1)

Mit (3):


Wähle mit

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung:



, Widerspruch zu (1)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

So finde ich das etwas schöner (kann gerne noch ausformuliert werden):
Aus der zweiten Bedingung folgt, dass nicht überall gilt, d.h. es gibt ein mit .
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert mit der dritten Bedingung


Naja, wie auch immer: Kann es sein, dass die Aufgabe "Bestimmen Sie die Menge aller Funktionen mit den folgenden Eigenschaften" oder ähnlich lautet?
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